Question

18．如图所示，以定线段AB为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连接PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上（AM＞MD）．
（1）求证：M是线段AD的黄金分割点．
（2）如果AB=2，求AM和DM的长
（3）作PN⊥PD交BC于N连ND．△BPN与△PDN是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设正方形ABCD的边长为2a，根据条件可求出AM、MD（用x的代数式表示），由此可证到AM²=MD•AD，即可得到M是线段AD的黄金分割点；
（2）设AM=x，可得AD=2，MD=2-x，代入AM²=MD•AD，求出x，就可解决问题；
（3）易得∠DPN=∠PBN=90°，要证△DPN∽△PBN，只需证$\frac{DP}{PN}$=$\frac{PB}{BN}$，由于AP=PB，只需证$\frac{DP}{PN}$=$\frac{AP}{BN}$，只需证△DAP∽△PBN即可．

解答 解：（1）设正方形ABCD的边长为2a，
则有AD=2a，AP=a，PD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
∴PF=PD=$\sqrt{5}$a，AM=AF=PF-AP=（$\sqrt{5}$-1）a，
∴MD=AD-AM=2a-（$\sqrt{5}$-1）a=（3-$\sqrt{5}$）a，
∴AM²=[（$\sqrt{5}$-1）a]²=（6-2$\sqrt{5}$）a²，
MD•AD=（3-$\sqrt{5}$）a•2a=（6-2$\sqrt{5}$）a²，
∴AM²=MD•AD，
∴M是线段AD的黄金分割点；

（2）设AM=x，
∵AD=AB=2，∴MD=AD-AM=2-x．
∵AM²=MD•AD，
∴x²=2（2-x），
整理得x²+2x-4=0，
解得x₁=$\sqrt{5}$-1，x₂=-$\sqrt{5}$-1（舍去），
∴AM=$\sqrt{5}$-1，DM=2-（$\sqrt{5}$-1）=3-$\sqrt{5}$；

（3）△DPN∽△PBN．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAP=∠PBN=90°，
∴∠ADP+∠APD=90°．
∵PD⊥PN，即∠DPN=90°，
∴∠APD+∠BPN=90°，
∴∠ADP=∠BPN，
∴△DAP∽△PBN，
∴$\frac{DP}{PN}$=$\frac{AP}{BN}$．
∵AP=PB，
∴$\frac{DP}{PN}$=$\frac{PB}{BN}$．
∵∠DPN=∠PBN=90°，
∴△DPN∽△PBN．

点评 本题主要考查了正方形的性质、黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，把证明$\frac{DP}{PN}$=$\frac{PB}{BN}$转化为证明$\frac{DP}{PN}$=$\frac{AP}{BN}$进而转化为证明△DAP∽△PBN是解决第（3）小题的关键．