Question

10．如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A点出发，沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点Q从C点出发，沿CA以每秒3cm的速度向A点运动，设运动时间为x秒．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）是否存在某一时刻，使△APQ∽△CQB？若存在，求出此时AP的长；若不存在，请说理由；
（3）当CQ=10时，求$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△ABQ}}$的值．

Answer 1

分析 （1）由题可得AP=4x，CQ=3x，BP=20-4x，AQ=30-3x．若PQ∥BC，则有△APQ∽△ABC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；
（2）由BA=BC得∠A=∠C．要使△APQ∽△CQB，只需$\frac{AP}{CQ}$=$\frac{AQ}{CB}$，此时$\frac{4x}{3x}$=$\frac{30-3x}{20}$，解这个方程就可解决问题；
（3）当CQ=10时，可求出x，从而求出AP，然后根据两个三角形两底上的高相等时，这两个三角形的面积比等于这两个底的比，就可解决问题．

解答 解：（1）由题可得AP=4x，CQ=3x．
∵BA=BC=20，AC=30，
∴BP=20-4x，AQ=30-3x．
若PQ∥BC，
则有△APQ∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AB}$=$\frac{AQ}{AC}$，
∴$\frac{4x}{20}$=$\frac{30-3x}{30}$，
解得：x=$\frac{10}{3}$．
∴当x=$\frac{10}{3}$时，PQ∥BC；

（2）存在．
∵BA=BC，∴∠A=∠C．
要使△APQ∽△CQB，
只需$\frac{AP}{CQ}$=$\frac{AQ}{CB}$．
此时$\frac{4x}{3x}$=$\frac{30-3x}{20}$，
解得：x=$\frac{10}{9}$，
∴AP=4x=$\frac{40}{9}$；

（3）当CQ=10时，3x=10，
∴x=$\frac{10}{3}$，
∴AP=4x=$\frac{40}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△APQ}}{{S}_{△ABQ}}$=$\frac{AP}{AB}$=$\frac{\frac{40}{3}}{20}$=$\frac{2}{3}$．

点评 本题主要考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、解方程、两个三角形的面积比等于两个底的比（这两底上的高相等）等知识，利用相似三角形的性质是解决本题的关键．