Question

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A→B→C向终点C运动，连接DM交AC于点N。

（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN。
①求证：△ABN≌△ADN；
②若∠ABC=60°，AM=4，∠ABN=α，求点M到AD的距离及tanα的值；
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12），试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形。

Answer 1

解：（1）①证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB=AD，∠1=∠2 又∵AN=AN ∴△ABN≌△ADN ②作MH⊥DA交DA的延长线于点H，由AD∥BC，得∠MAH=∠ABC=60°， 在Rt△AMH中，MH=AM·sin60°=4×sin60°=2， ∴点M到AD的距离为2， 易求AH=2，则DH=6+2=8 在Rt△DMH中，tan∠MDH=， 由①知，∠MDH=∠ABN=α，故tanα=；
（2）∵∠ABC=90°， ∴菱形ABCD是正方形，此时，∠CAD=45°， 下面分三种情形： Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45° 此时，点M恰好与点B重合，得x=6； Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45° 此时，点M恰好与点C重合，得x=12； Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2， 由AD∥BC，得∠1=∠4， 又∠2=∠3， ∴∠3=∠4，从而CM=CN， 易求AC=6， ∴CM=CN=AC-AN=6-6， 故x=12-CM=12-（6-6）=18-6， 综上所述：当x=6或12或18-6时，△ADN是等腰三角形。