Question

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿着折线A→B→C的路线向终点C运动，连接DM交AC于点N，连接BN．
（1）如图1，当点M在AB边上运动时．
①求证：△ABN≌△AND；
②若∠ABC=60°，∠ADM=20°，求证：MB=MN．
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x，求使得△AND为等腰三角形时x的值．

Answer 1

分析：（1）①三角形ABN和ADN中，不难得出AB=AD，∠DAC=∠CAB，AN是公共边，根据SAS即可判定两三角形全等；
②连接DB，根据菱形的性质得到AC垂直平分BD，所以NB=ND，然后利用三角形的外角的性质得到∠BNM=∠MBN=20°，从而得到结论MN=MB．
（2）本题要分三种情况即：ND=NA，DN=DA，AN=AD进行讨论．

解答：（1）证明：①∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，∠1=∠2．
又∵AN=AN，
∴△ABN≌△ADN．
②解：连接DB，
∴AC垂直平分BD，
∴NB=ND，
∵∠ABC=60°，
∴∠ABD=∠ADB=30°，
∵∠ADM=20°，
∴∠BDN=∠DBN=10°，
∴∠BNM=∠MBN=20°，
∴MN=MB．

（2）解：∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形．
∴∠CAD=45°．
下面分三种情形：
（Ⅰ）若ND=NA，则∠ADN=∠NAD=45°．
此时，点M恰好与点B重合，得x=6；
（Ⅱ）若DN=DA，则∠DNA=∠DAN=45°．
此时，点M恰好与点C重合，得x=12；
（Ⅲ）若AN=AD=6，则∠1=∠2．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠4，又∠2=∠3，
∴∠3=∠4．
∴CM=CN．
∴AC=6

2

．
∴CM=CN=AC-AN=6

2

-6．
故x=12-CM=12-（6

2

-6）=18-6

2

．
综上所述：当x=6或12或18-6

2

时，△AND是等腰三角形．

点评：本题考查了菱形的各边长相等的性质，考查了正方形的判定，考查了全等三角形的判定和全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形的判定，本题中求证△ABN≌△ADN是解题的关键．