Question

在边长为6的菱形ABCD中，动点M从点A出发，沿A?B?C向终点C运动，连接DM交AC于点N．
（1）如图1，当点M在AB边上时，连接BN：求证：△ABN≌△ADN；
（2）如图2，若∠ABC=90°，记点M运动所经过的路程为x（6≤x≤12）．试问：x为何值时，△ADN为等腰三角形．

Answer 1

分析：（1）根据菱形的四条边都相等可得AB=AD，对角线平分一组对角可得∠BAN=∠DAN，然后利用“边角边”证明；
（2）根据有一个角是直角的菱形的正方形判断出四边形ABCD是正方形，再根据正方形的性质点M与点B、C重合时△ADN是等腰三角形；AN=AD时，利用勾股定理列式求出AC，再求出CN，然后求出△ADN和△CMN相似，利用相似三角形对应边成比例列式求出CM，然后求出BM即可得解．

解答：（1）证明：在菱形ABCD中，AB=AD，∠BAN=∠DAN，
在△ABN和△ADN中，

AB=AD ∠BAN=∠DAN AN=AN

，
∴△ABN≌△ADN（SAS）；

（2）解：∵∠ABC=90°，
∴菱形ABCD是正方形，
∴当x=6时，点M与点B重合，AN=DN，△ADN为等腰三角形，
当x=12时，点M与点C重合，AD=DN，△ADN为等腰三角形，
当AN=AD时，在Rt△ACD中，AC=

62+62

=6

2

，
CN=AC-AN=6

2

-6，
∵正方形ABCD的边BC∥AD，
∴△ADN∽△CMN，
∴

CM

AD

=

CN

AN

，
即

CM

6

=

6 2 -6

6

，
解得CM=6

2

-6，
∴BM=BC-AM=6-（6

2

-6）=12-6

2

，
x=AB+BM=6+12-6

2

=18-6

2

，
综上所述，x为6或18-6

2

或12时，△ADN为等腰三角形．

点评：本题是四边形综合题型，主要考查了全等三角形的判定，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）要分情况讨论．