Question

如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．

（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；
（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，
∴，解得。
∴抛物线的解析式为：。
（2）∵，∴其对称轴为直线x=2。
连接BC，如图1所示，

∵B（5，0），C（0，），
∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
，解得：。
∴直线BC的解析式为。
当x=2时，，
∴P（2，）。
（3）存在。
如图2所示，

①当点N在x轴下方时，
∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，），
∴N₁（4，）。
②当点N在x轴上方时，
如图2，过点N作ND⊥x轴于点D，
在△AND与△MCO中，，
∴△AND≌△MCO（ASA）。
∴ND=OC=，即N点的纵坐标为。
∴，解得或。
∴N₂（，），N₃（，）．
综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，），（，）或（，）

解析试题分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可。
（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可。
（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论。