Question

9．如图，抛物线y═ax²+bx+c交x轴于点A，B（点A在x轴的负半轴，点B在x轴的正半轴），交y轴的负半轴于点C，且OA=OC=$\frac{1}{2}$BO=k（k＞0）．点D在抛物线的对称轴上，BC交对称轴于点F．
（1）用含k的代数式表示点B的坐标；
（2）求b的值；
（3）若D的纵坐标为4，以BC，BD为边作?CBDE．
①当点E恰好落在抛物线上时，求k的值；
②设△BDF的面积为S₁，?CBDE的面积为S₂，则$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的值等于$\frac{3}{8}$（直接写出答案）．

Answer 1

分析 （1）由题意可知OB=2k，可得B（2k，0）．
（2）设抛物线的解析式为y=a（x+k）（x-2k），把C（0，-k）代入，-k=-2k²a，可得a=$\frac{1}{2k}$，推出抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2k}$x²-$\frac{1}{2}$x-k，可得b=-$\frac{1}{2}$．
（3）①利用平行四边形的性质以及中点坐标公式求出点E的坐标，代入抛物线的解析式，解方程即可解决问题．
②设DE交y轴于K，易知△BDF≌△ECK，推出S_△BDF=S_△ECK，由直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-k，D（$\frac{k}{2}$，4），推出F（$\frac{k}{2}$，-$\frac{3}{4}$k），推出DF=4+$\frac{3}{4}$k，推出S₁=$\frac{1}{2}$•（4+$\frac{3}{4}$k）•$\frac{3}{2}$k=$\frac{3}{4}$k（4+$\frac{3}{4}$k），S₂=2S₁+（4+$\frac{3}{4}$k）•$\frac{1}{2}$k=2k（4+$\frac{3}{4}$k），由此即可解决问题．

解答 解：（1）∵OA=OC=$\frac{1}{2}$BO=k（k＞0），
∴OA=OC=k，OB=2k，
∴A（-k，0），B（2k，0），C（0，-k），
∴B（2k，0）．

（2）设抛物线的解析式为y=a（x+k）（x-2k），
把C（0，-k）代入，-k=-2k²a，
∴a=$\frac{1}{2k}$，
∴抛物线的解析式为y=$\frac{1}{2k}$x²-$\frac{1}{2}$x-k，
∴b=-$\frac{1}{2}$．

（3）①连接BE、CD，BE交CD于G，
∵四边形EDBC是平行四边形，
∴EG=BG，GD=GC，设E（m，n），
∵C（0，-k），B（2k，0），D（$\frac{k}{2}$，4），
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+2k}{2}=\frac{0+\frac{k}{2}}{2}}\\{\frac{n+0}{2}=\frac{-k+4}{2}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{3}{2}k}\\{n=4-k}\end{array}\right.$，
∴E（-$\frac{3}{2}$k，4-k），
∵点E在抛物线上，
∴4-k=$\frac{1}{2k}$•$\frac{9}{4}$k²-$\frac{1}{2}$（-$\frac{3}{2}$k）-k，
解得k=$\frac{32}{15}$．

②设DE交y轴于K，易知△BDF≌△ECK，
∴S_△BDF=S_△ECK，
∵直线BC的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-k，
∵D（$\frac{k}{2}$，4），
∴F（$\frac{k}{2}$，-$\frac{3}{4}$k），
∴DF=4+$\frac{3}{4}$k，
∴S₁=$\frac{1}{2}$•（4+$\frac{3}{4}$k）•$\frac{3}{2}$k=$\frac{3}{4}$k（4+$\frac{3}{4}$k），
S₂=2S₁+（4+$\frac{3}{4}$k）•$\frac{1}{2}$k=2k（4+$\frac{3}{4}$k），
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}k（4+\frac{3}{4}k）}{2k（4+\frac{3}{4}k）}$=$\frac{3}{8}$．
故答案为$\frac{3}{8}$．

点评 本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、平行四边形的性质、中点坐标公式、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数，构建方程解决问题，属于中考压轴题．