Question

18．如图1，已知△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，∠BAD=∠BCE=90°，点M为DE的中点，过点E与AD平行的直线交射线AM于点N．
（1）将图1中的△BCE绕点B旋转，当A，B，E三点在同一直线上时（如图2），判断△ACN的形状并说明理由；
（2）将图1中△BCE绕点B旋转到图3位置时（A，B，M三点在同一直线上），（1）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件，易证AB=DA=NE，∠ABC=∠NEC=135°，由EN∥AD和点M为DE的中点，可以证得△ADM≌△NEM，即可得到AB=NE，从而可判定△ABC≌△NEC，进而可以证得AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，可得△ACN为等腰直角三角形；
（2）根据已知条件，易得△ADM≌△NEM，根据四边形BCEF内角和为360°，可得∠ABC=∠FEC，从而可以证得△ABC≌△NEC，进而可以证得AC=NC，∠ACN=∠BCE=90°，即可得出△ACN为等腰直角三角形．

解答 解：（1）△ACN为等腰直角三角形．
理由：如图2，∵△BAD和△BCE均为等腰直角三角形，
∴AB=AD，CB=CE，∠CBE=∠CEB=45°，
∵AD∥NE，
∴∠DAE+∠NEA=180°，
∵∠DAE=90°，
∴∠NEA=90°，
∴∠NEC=135°，
∵A，B，E三点在同一直线上，
∴∠ABC=180°-∠CBE=135°，
∴∠ABC=∠NEC，
∵EN∥AD，
∴∠MAD=∠MNE，∠ADM=∠NEM，
∵点M为DE的中点，
∴DM=EM，
在△ADM和△NEM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAD=∠MNE}\\{∠ADM=∠NEM}\\{DM=EM}\end{array}\right.$，
∴△ADM≌△NEM（AAS），
∴AD=NE，
∵AD=AB，
∴AB=NE，
在△ABC和△NEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=NE}\\{∠ABC=∠NEC}\\{BC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△NEC（SAS），
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，
∵∠BCE=90°，
∴∠ACN=∠BCE=90°，
∴△ACN为等腰直角三角形． 

（2）△ACN为等腰直角三角形仍成立．
证明：如图3，A、B、N三点在同一条直线上，
∵AD∥EN，∠DAB=90°，
∴∠ENA=∠DAN=90°，
∵∠BCE=90°，
∴∠CBN+∠CEN=360°-90°-90°=180°，
∵A、B、N三点在同一条直线上，
∴∠ABC+∠CBN=180°，
∴∠ABC=∠NEC，
由（1）可得，△ADM≌△NEM，
∴AD=NE，
∵AD=AB，
∴AB=NE，
在△ABC和△NEC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=NE}\\{∠ABC=∠NEC}\\{BC=EC}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△NEC（SAS），
∴AC=NC，∠ACB=∠NCE，
∴∠ACN=∠BCE=90°，
∴△ACN为等腰直角三角形．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角和等知识的综合应用，渗透了变中有不变的辩证思想，解决问题的关键是掌握等腰直角三角形的判定方法．