Question

7．如图1，把矩形纸片ABCD折叠，使得顶点A与边DC上的动点P重合（P不与点D、C重合），MN为折痕，点M、N分别在边BC、AD上，连结AP、MP、AM，AP与MN相交于点F．
（1）试判断AF×AD与AN×AP是否相等？并说明理由；
（2）如图2，过点M、C、P作⊙O，随着点P的运动，若⊙O与AM相切与点M时，⊙O又与AD相切于点H．当AB=2$\sqrt{3}$时，求⊙O的直径MP的长．

Answer 1

分析 （1）先证明△FAN∽△DAP，由相似三角形的性质可知：$\frac{AF}{AD}=\frac{AN}{AP}$，然后由P不与重合，P在边DC上，可得到AD≠AP，故此判断出AF×AD与AN×AP的关系；
（2）如图1所示：连接OH，并延长HO交MC于点G．先证明△ABM≌△MCP，由全等三角形的性质可求得AB=MC=2$\sqrt{3}$，接下来证明四边形CDHG为矩形，从而可求得GC=HD，然后再依据垂径定理求得HD=$\sqrt{3}$，由切割线定理可求得PD的长，最后在△MCP中依据勾股定理可求得PM的长．

解答 解：（1）AF×AD与AN×AP不相等．
理由：∵点P，点A关于MN对称，
∴MN⊥AP．
∴∠AFN=∠D=90°．
又∵∠FAN=∠DAP，
∴△FAN∽△DAP．
∴$\frac{AF}{AD}=\frac{AN}{AP}$．
∵P不与重合，P在边DC上，
∴AD≠AP，即$\frac{AD}{AP}≠\frac{AP}{AD}$．
∴$\frac{AF}{AN}≠\frac{AP}{AD}$，即AF×AD≠AN×AP．
（2）如图1所示：连接OH，并延长HO交MC于点G．

由翻折的性质可知AM=MP．
∵AM为⊙O的切线，
∴OM⊥AM．
∴∠CMP+∠BMA=90°．
又∵∠BAM+∠BMA=90°，
∴∠CMP=∠BAM．
在△ABM和△MCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠C}\\{∠BAM=∠PMC}\\{AM=MP}\end{array}\right.$，
∴△ABM≌△MCP．
∴AB=MC=2$\sqrt{3}$．
∵DH为⊙O的切线，
∴OH⊥AD．
∴∠GHD=∠D=∠C=90°．
∴四边形CDHG为矩形．
∴HD=GC，OG⊥MC．
∴GC=$\frac{1}{2}$MC=$\sqrt{3}$．
∴HD=$\sqrt{3}$．
由切割线定理可知；HD²=DP•CD，即2$\sqrt{3}$PD=3，解得PD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴CP=2$\sqrt{3}$$-\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．
在Rt△MCP中，PM=$\sqrt{M{C}^{2}+C{P}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．
∴⊙O的直径MP的长为$\frac{5\sqrt{3}}{2}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了相似三角形的性质和判定、翻折的性质、切线的性质、全等三角形的性质和判定以及切割线定理、勾股定理、垂径定理等知识点，证得△ABM≌△MCP，然后依据垂径定理和矩形的性质求得HD的长是解题的关键．