题目内容

2．如图①所示，已知抛物线y=-x2+4x+5的顶点为D，与x轴交于A、B两点（A左B右），与y轴交于C点，E为抛物线上一点，且C、E关于抛物线的对称轴对称，作直线AE．
（1）求直线AE的解析式；
（2）在图②中，若将直线AE沿x轴翻折后交抛物线于点F，则点F的坐标为（6，-7）（直接填空）；
（3）点P为抛物线上一动点，过点P作直线PG与y轴平行，交直线AE于点G，设点P的横坐标为m，当S△PGE：S△BGE=2：3时，直接写出所有符合条件的m值，不必说明理由．

分析 （1）根据抛物线的解析式可找出该抛物线的对称轴为x=2以及点A、B、C的坐标，由点C的坐标结合C、E关于抛物线的对称轴对称，可求出点E的坐标，设直线AE的解析式为y=kx+b，由点A、E的坐标利用待定系数法即可求出直线AE的解析式；
（2）设直线AF的解析式为y=ax+c，找出点E关于x轴对称的点的坐标，利用该点和A点坐标利用待定系数法即可求出直线AF的解析式，再联立直线AF以及抛物线的解析式成方程组，解方程组即可求出点F的坐标；
（3）过点P作PP′⊥直线AE于点P′，过点B作BB′⊥直线AE于点B′，则△PP′G和△BB′A为等腰直角三角形，根据△PGE和△BGE中有相同的底边GE且S△PGE：S△BGE=2：3，即可得出PG：AB=2：3，由点P的横坐标即可得出点P、G的坐标进而可得出PG的长度，再根据A、B的坐标即可得出AB的长度，由$\frac{PG}{AB}$=$\frac{2}{3}$即可得出|m2-3m-4|=4，解之即可得出结论．

解答 解：（1）∵抛物线的解析式为y=-x2+4x+5，
∴该抛物线的对称轴为：x=-$\frac{4}{2×（-1）}$=2．
令y=-x2+4x+5中x=0，则y=5，
∴点C的坐标为（0，5）．
∵C、E关于抛物线的对称轴对称，
∴点E的坐标为（2×2-0，5），即（4，5）．
令y=-x2+4x+5中y=0，则-x2+4x+5=0，
解得：x1=-1，x2=5，
∴点A的坐标为（-1，0）、点B的坐标为（5，0）．
设直线AE的解析式为y=kx+b，
将点A（-1，0）、E（4，5）代入y=kx+b中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-k+b}\\{5=4k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=1}\end{array}\right.$，
∴直线AE的解析式为y=x+1．
（2）设直线AF的解析式为y=ax+c，
∵点E的坐标为（4，5），
∴点E关于x的对称点的坐标为（4，-5），
将点（-1，0）、（4，-5）代入y=ax+c中，
得：$\left\{\begin{array}{l}{0=-a+c}\\{-5=4a+c}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{c=-1}\end{array}\right.$，
∴直线AF的解析式为y=-x-1．
联立直线AF与抛物线的解析式成方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x-1}\\{y=-{x}^{2}+4x+5}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{y=0}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{x=6}\\{y=-7}\end{array}\right.$，
∴点F的坐标为（6，-7），
故答案为（6，-7）．
（3）过点P作PP′⊥直线AE于点P′，过点B作BB′⊥直线AE于点B′，如图所示．
∵直线AE的解析式为y=x+1，
∴△PP′G和△BB′A为等腰直角三角形．
在△PGE和△BGE中有相同的底边GE，且S△PGE：S△BGE=2：3，
∴PP′：BB′=2：3，
∴PG：AB=2：3．
∵点P的横坐标为m，且点P在抛物线y=-x2+4x+5的图象上，点G在直线y=x+1上，
∴点P的坐标为（m，-m2+4m+5），点G的坐标为（m，m+1），
∴PG=|-m2+4m+5-（m+1）|=|m2-3m-4|．
∵点B的坐标为（5，0），点A的坐标为（-1，0），
∴AB=5-（-1）=6，
∴$\frac{PG}{AB}$=$\frac{|{m}^{2}-3m-4|}{6}$=$\frac{2}{3}$，即|m2-3m-4|=4，
解得：m1=0，m2=3，m3=$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$，m4=$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$，
∴当S△PGE：S△BGE=2：3时，符合条件的m值为0、3、$\frac{3-\sqrt{41}}{2}$和$\frac{3+\sqrt{41}}{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、点的对称、解二元二次方程组以及点到直线的距离，解题的关键是：（1）求出点E的坐标；（2）求出直线AF的解析式；（3）找出关于m的含绝对值符号的一元二次方程．本题属于中档题，难度不大，但解题过程稍显繁琐，解决该题型题目时，找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．

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