Question

20．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC的角平分线交边BC于点D，过点D作DE⊥AB于点E．
（1）求证：△ACD≌△AED；
（2）若∠BAC=60°，BC=6，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）依据角平分线的定义可得到∠CAD=∠EAD，然后依据AAS可证明△ACD≌△AED；
（2）依据全等三角形的性质可知CD=DE，然后依据含30°直角三角形的性质可求得BD=2ED=2DC，然后BC=6列方程求解即可．

解答 解：（1）∵∠BAC的角平分线交边BC于点D，
∴∠CAD=∠EAD．
∵∠C=90°，DE⊥AB，
∴∠C=∠AED=90°．
在△ACD和△AED中$\left\{\begin{array}{l}{∠C=∠AED}\\{∠CAD=∠EAD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△AED．
（2）∵△ACD≌△AED，
∴CD=DE．
∵∠C=90°，∠CAB=60°，
∴∠B=30°．
∵∠DEB=90°，∠B=30°，
∴BD=2DE=2CD．
∵BD+CD=BC=6，
∴2CD+DC=6，解得：CD=2．
所以CD的长为2．

点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、含30°直角三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．