Question

19．如图，以正方形ABCD边BC为直径作半圆O，过点D作直线与半圆相切于点F，交AB于点E，若AB=2cm．求：
（1）AE的长；
（2）阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）由切线长定理可知：BE=EF、DF=DC=2，设AE=xcm，则EF=（2-x）cm，故此ED=（4-x）cm，然后在Rt△ADE中依据勾股定理列方程求解即可；
（2）阴影部分的面积=正方形的面积-△ADE的面积-减去半圆的面积．

解答 解：（1）切线长定理可知：BE=EF、DF=DC=2cm．
设AE=xcm，则EF=（2-x）cm，ED=（4-x）cm．
在Rt△ADE中，AD²+AE²=ED²，即2²+x²=（4-x）²．
解得：x=1.5．
则AE=1.5cm．
（2）阴影部分的面积=正方形的面积-△ADE的面积-减去半圆的面积
=2×2-$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}×2$-$\frac{1}{2}×π×{1}^{2}$
=$\frac{5-π}{2}$cm²．
阴影部分的面积为$\frac{5-π}{2}$cm²．

点评 本题主要考查的是切线的性质、切线长定理、勾股定理，依据切线长定理、勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．