Question

16．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，点D、E分别在AC、BC上，且CD•BC=AC•CE，以E为圆心，DE长为半径作圆，⊙E经过点B，与AB、BC分别交于点F、G．
（1）求证：AC是⊙E的切线．
（2）若AF=4，CG=5，
①求⊙E的半径；
②若Rt△ABC的内切圆圆心为I，则IE=$\sqrt{130}$．

Answer 1

分析 （1）证明△CDE∽△CAB，得∠EDC=∠A=90°，所以AC是⊙E的切线；
（2）①如图1，作辅助线，构建矩形AHED，设⊙E的半径为r，表示BH和EC的长，证明△BHE∽△EDC，
列比例式代入r可得结论；
②如图2，作辅助线，构建直角△IME，分别求IM和ME的值，利用勾股定理可求IE的长．

解答 证明：（1）∵CD•BC=AC•CE，
∴$\frac{CD}{AC}=\frac{CE}{CB}$，
∵∠DCE=∠ACB，
∴△CDE∽△CAB，
∴∠EDC=∠A=90°，
∴ED⊥AC，
∵点D在⊙E上，
∴AC是⊙E的切线；

（2）①如图1，过E作EH⊥AB于H，
∴BH=FH，
∵∠A=∠AHE=∠ADE=90°，
∴四边形AHED是矩形，
∴ED=AH，ED∥AB，
∴∠B=∠DEC，
设⊙E的半径为r，则EB=ED=EG=r，
∴BH=FH=AH-AF=DE-AF=r-4，
EC=EG+CG=r+5，
在△BHE和△EDC中，
∵∠B=∠DEC，∠BHE=∠EDC=90°，
∴△BHE∽△EDC，
∴$\frac{BH}{ED}=\frac{BE}{EC}$，即$\frac{r-4}{r}=\frac{r}{r+5}$，
∴r=20，
∴⊙E的半径为20；

②如图2，过I作IM⊥BC于M，过I作IH⊥AB于H，
由①得：FH=BH=r-4=20-4=16，AB=AF+2BH=4+2×16=36，
BC=2r+5=2×20+5=45，
∴AC=$\sqrt{4{5}^{2}-3{6}^{2}}$=27，
∵I是Rt△ABC的内心，
∴IM=$\frac{AB+AC-BC}{2}$=$\frac{36+27-45}{2}$=9，
∴AH=IM=9，
∴BH=BM=36-9=27，
∴EM=27-20=7，
在Rt△IME中，由勾股定理得：IE=$\sqrt{I{M}^{2}+E{M}^{2}}$=$\sqrt{{9}^{2}+{7}^{2}}$=$\sqrt{130}$，
故答案为：$\sqrt{130}$．

点评 本题考查了相似三角形的性质和判定、圆的切线的性质和判定、直角三角形内切圆的半径、切线长定理等知识，最后一问有难度，作辅助线，构建直角△IEM是关键，掌握直角三角形内切圆半径r=$\frac{a+b-c}{2}$（a、b是直角三角形的两直角边，c为斜边）．