已知?OABC的顶点A.C分别在直线x=2和x=4上.O为坐标原点.直线x=2分别与x轴和OC边交于D.E.直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F.G．(1)如图.在点A.C移动的过程中.若点B在x轴上.①直线 AC是否会经过一个定点.若是.请直接写出定点的坐标,若否.请说明理由．②?OABC是否可以形成矩形?如果可以.请求出矩形OABC的面积,若否.请说明理由．③四边形AECG是否可以� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

6．已知?OABC的顶点A、C分别在直线x=2和x=4上，O为坐标原点，直线x=2分别与x轴和OC边交于D、E，直线x=4分别与x轴和AB边的交于点F、G．
（1）如图，在点A、C移动的过程中，若点B在x轴上，
①直线 AC是否会经过一个定点，若是，请直接写出定点的坐标；若否，请说明理由．
②?OABC是否可以形成矩形？如果可以，请求出矩形OABC的面积；若否，请说明理由．
③四边形AECG是否可以形成菱形？如果可以，请求出菱形AECG的面积；若否，请说明理由．
（2）在点A、C移动的过程中，若点B不在x轴上，且当?OABC为正方形时，直接写出点C的坐标．

分析（1）①是，经过定点（3，0）．如图1中，连接AC交OB于K，只要证明OD=FB=2，推出OB=6，即可解决问题．
②当∠OCB=90°时，四边形OABC是矩形，由（1）可知△DOA≌△FBC，推出OD=BF=2，由△CFO∽△BFC，可得$\frac{CF}{BF}$=$\frac{OF}{CF}$，由此即可解决问题．
③可以．如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．由（1）可知，△DOA≌△FBC，推出AD=CF，易知DE=$\frac{1}{2}$CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，
在Rt△ADE中，根据OE²=OD²+DE²，列出方程即可解决问题．
（2）如图4中，当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，推出OD=CF=2，推出点C坐标（4，2），根据对称性C′（4，-2）时，也满足条件．

解答解：（1）①是，经过定点（3，0）．理由如下：
如图1中，连接AC交OB于K．

∵四边形OABC是平行四边形，
∴OK=KB，BC∥OA，BC=OA，
∴∠CBF=∠AOD，
在△DOA和△FBC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ODA=∠CFB=90°}\\{∠AOD=∠CBF}\\{OA=BC}\end{array}\right.$，
∴△DOA≌△FBC，
∴OD=FB=2，
∴OB=6，
∵OK=KB，
∴OK=3，
∴K（3，0），
∴直线AC经过定点K（3，0）．

②可以．利用如下：

当∠OCB=90°时，四边形OABC是矩形，
由（1）可知△DOA≌△FBC，
∴OD=BF=2，
∵∠OCF+∠FCB=90°，∠FCB+∠CBF=90°，
∴∠OCF=∠CBF，
∵∠CFO=∠CFB，
∴△CFO∽△BFC，
∴$\frac{CF}{BF}$=$\frac{OF}{CF}$，
∴$\frac{CF}{2}$=$\frac{4}{CF}$，
∴CF=2$\sqrt{2}$，
∴S_矩形OABC=2•S_△OBC=2×$\frac{1}{2}$×$6×2\sqrt{2}$=12$\sqrt{2}$．

③可以．理由如下：
如图3中，易知当OE=EC=AE时，四边形AECG是菱形．

由（1）可知，△DOA≌△FBC，
∴AD=CF，
∵DE=$\frac{1}{2}$CF，设DE=x，则AD=CF=2x，OE=AE=3x，
在Rt△ADE中，∵OE²=OD²+DE²，
∴9x²=x²+4，
∴x=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴AE=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴S_菱形AECG=AE•DF=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$×2=3$\sqrt{2}$．

（2）如图4中，

当四边形OABC是正方形时，易证△DOA≌△FCO，
∴OD=CF=2，
∴点C坐标（4，2），
根据对称性C′（4，-2）时，也满足条件．
综上所述，点C坐标为（4，2）或（4，-2）．

点评本题考查四边形综合题、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质、正方形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用关键方程的思想思考问题，属于中考压轴题．

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