Question

11．阅读下列材料，然后解答问题．
学会从不同的角度思考问题
学完平方差公式后，小军展示了以下例题：
例 求（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
解：原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2⁴-1）（2⁴+1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2⁸-1）（2⁸+1）（2¹⁶+1）+1
=（2¹⁶-1）（2¹⁶+1）+1
=2³²
由2ⁿ（n为正整数）的末尾数的规律，可得2³²末尾数字是6．
      爱动脑筋的小明，想出了一种新的解法：因为2²+1=5，而2+1，2⁴+1，2⁸+1，2¹⁶+1均为奇数，几个奇数与5相乘，末尾数字是5，这样原式的末尾数字是6．
      在数学学习中，要像小明那样，学会观察，独立思考，尝试从不同角度分析问题．这样才能学好数学．
请解答下列问题：
（1）计算（2+1）（2²+1）（2³+1）（2⁴+1）（2⁵+1）…（2ⁿ+1）+1（n为正整数）的值的末尾数字是6；
（2）计算2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）+1值的末尾数字是1；
（3）计算：2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）+1．

Answer 1

分析 （1）原式变形后，利用平方差公式计算即可；
（2）此题不难发现：3ⁿ的个位数字是3，9，7，1四个一循环，所以（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）的个位是0，则2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）+3⁷的个位是0，从而得到结果；
（3）根据平方差公式求出即可．

解答 解：（1）原式=（2-1）（2+1）（2²+1）（2⁴+1）…（2ⁿ+1）+1
=（2²-1）（2²+1）（2⁴+1）…（2ⁿ+1）+1
=（2⁴-1）（2⁴+1）…（2ⁿ+1）+1
=2²ⁿ-1+1
=2²ⁿ；∵2⁴=16，2⁸=（2⁴）²=256，2¹⁶=（2⁸）²=65536…．
∴2²ⁿ的尾数为6；
故答案为：6，

（2）∵3¹=3，3²=9，3³=27，3⁴=81，3⁵=243，3⁶=729，…，
∵3ⁿ的个位数字是3，9，7，1四个一循环，
∴（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）的个位是0，
∴2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）+3⁷的个位是0，
∴2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）（3¹⁶+1）+1的个位数字是0+1=1；
故答案为：1；

（3）2（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）+1=（3-1）（3+1）（3²+1）（3⁴+1）（3⁸+1）+1
=（3⁸-1）（3⁸+1）+1
=3¹⁶-1+1=3¹⁶．

点评 此题主要考查了平方差公式，熟练应用平方差公式是解题关键．