Question

5．已知，如图，直线AB∥CD，直线EF⊥AB，点M在CD上，MP平分∠GMC，PN平分∠EGM，且∠CMG+∠MGF=90°．
（1）若∠MGN=75°，∠CMG=60°，求∠MPN的度数；
（2）若∠MGF=30°，∠CMG=60°，求∠MPN的度数；
（3）若点M在直线CD轴上移动，∠MPN的大小是否发生变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围．

Answer 1

分析 （1）首先根据∠CMG=60°，MP平分∠GMC，可得∠PMG=30°，然后根据∠MGN=75°，应用三角形的外角的性质，求出∠MPN的度数即可．
（2）首先根据∠MGF=30°，求出∠EGM=150°，再根据PN平分∠EGM，求出∠MGN的度数；然后根据∠CMG=60°，MP平分∠GMC，求出∠PMG的度数；最后应用三角形的外角的性质，求出∠MPN的度数即可．
（3）当点M在直线CD上移动时，∠MPN的大小不变，都是45°，理由如下：设∠MGF=x°，则∠CMG=90-x°，分别求出∠MGN、∠PMG的度数，然后根据三角形的外角的性质，可得∠MGN=∠MPN+∠PMG，据此求出∠MPN的度数即可．

解答 解：（1）∵∠CMG=60°，MP平分∠GMC，
∴∠PMG=60°÷2=30°，
∵∠MGN=75°，∠MGN=∠MPN+∠PMG，
∴∠MPN=75°-30°=45°．

（2）∵∠MGF=30°，
∴∠EGM=180°-30°=150°，
∵PN平分∠EGM，
∴∠MGN=150°÷2=75°，
∵∠CMG=60°，MP平分∠GMC，
∴∠PMG=60°÷2=30°，
∵∠MGN=75°，∠MGN=∠MPN+∠PMG，
∴∠MPN=75°-30°=45°．

（3）当点M在直线CD上移动时，∠MPN的大小不变，都是45°，理由如下：
设∠MGF=x°，则∠CMG=90-x°，
∵∠MGF=x°，
∴∠EGM=180°-x°，
∵PN平分∠EGM，
∴∠MGN=（180°-x°）÷2=90°-0.5x°，
∵∠CMG=90°-x°，MP平分∠GMC，
∴∠PMG=（90°-x°）÷2=45°-0.5x°，
∵∠MGN=90°-0.5x°，∠MGN=∠MPN+∠PMG，
∴∠MPN=90°-0.5x°-（45°-0.5x°）=45°．

点评 （1）此题主要考查了平行线的性质和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等．简单说成：两直线平行，同位角相等．定理2：两条平行线被地三条直线所截，同旁内角互补．简单说成：两直线平行，同旁内角互补．③定理3：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等．
（2）此题还考查了三角形的外角的性质和角平分线的性质和应用，要熟练掌握．