Question

14．如图1，Rt△ABC中，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P'），当AP旋转至AP'⊥AB时，点B、P、P'恰好在同一直线上，此时作P'E⊥AC于点E．
（1）求证：∠CBP=∠ABP；
（2）若AB-BC=4，AC=8，求AE的长；
（3）当∠ABC=60°，BC=2，点N为BC的中点，在线段BP上确定点M，使MC+MN的值最小，利用图2，作出点M，并求出这个最小值．

Answer 1

分析 （1）根据旋转的性质得到AP=AP'，根据定义三角形的性质、三角形内角和定理计算即可；
（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线的性质得到CP=DP，证明△APD≌△P′AE，得到AE=DP，根据勾股定理求出AB、BC，计算即可；
（3）根据最短路径问题得到点C与点D关于BP对称，连接DN交BP于M，确定点M，根据正弦的定义求出ND即可．

解答 解：（1）∵AP=AP'，
∴∠APP′=∠AP′P，
∵∠BCA=∠BAP′=90°，
∴∠BCA-∠BPC=∠BAP′-∠AP′P，即∠CBP=∠ABP；
（2）过点P作PD⊥AB于D，
∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，
∴CP=DP，
∵P′E⊥AC，
∴∠EAP′+∠AP′E=90°，
又∵∠PAD+∠EAP′=90°，
∴∠PAD=∠AP′E，
在△APD和△P′AE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PAD=∠AP′E}\\{∠ADP=∠P′EA}\\{AP=AP′}\end{array}\right.$，
∴△APD≌△P′AE（AAS），
∴AE=DP，
∴AE=CP，
∵AB-BC=4，AC=8，
∴AB=10，BC=6，
∴AE=CP=3；
（3）由题意得，点C与点D关于BP对称，
连接DN交BP于M，则点M即为所求，
∵∠ABC=60°，BD=BC=2，
∴MN+MC=ND=BD•sin∠ABC=$\sqrt{3}$，
∴MC+MN的值最小值为$\sqrt{3}$．

点评 本题考查的是全等三角形的判定和性质、最短路径问题，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确确定点M的位置是解题的关键．