Question

7．如图，⊙C经过坐标原点O，并与两坐标轴分别交于A、D两点，已知∠OBA=30°，点A的坐标为（2，O）．
（1）求⊙C的半径；
（2）在弧ABD上是否存在一点P，使得△OAP的面积最大？若存在，请求出此时点P的坐标及△OAP的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由∠DOA=90°可知AD是圆的直径，然后根据同弧所对的圆周角相等可知∠ODA=30°，然后根据含30°直角三角形的性质求解即可；
（2）三角形的面积最大即圆上一点到OA的距离最远即可，从而可求得点P的坐标．

解答 解：（1）连接AD．

∵∠DOA=90°，
∴AD是圆的直径．
∵∠ADO=∠OBA=30°，∠DOA=90°，
∴AO=$\frac{1}{2}AD$．
∴AD=2AO=4．
∴⊙C的半径为2．
（2）如图2所示：过点C作PE⊥OA，垂足为E，延长EC交⊙C于点P，连接OC．

存在点P使得△OAP的面积最大．
∵CE⊥OA，
∴OE=$\frac{1}{2}$QA=$\frac{1}{2}×2$=1．
在Rt△OCE中，CE=$\sqrt{O{C}^{2}-O{E}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$．
∴PE=PC+EC=2+$\sqrt{3}$．
∴点P的坐标为（1，2+$\sqrt{3}$）．
△OAP的最大面积=$\frac{1}{2}OA•PE$=$\frac{1}{2}×2×（2+\sqrt{3}）$=2$+\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查的是圆的综合应用，同时还涉及了勾股定理、含30度的直角三角形的性质，掌握此类问题的辅助线的作法是解题的关键．