Question

18．如图，⊙O中，CD为弦，AB为直径，CD⊥AB，垂足为P，AB=4，PA：PB=1：3，求PO和CD的长．

Answer 1

分析 根据已知求得PA=1，PB=3，OA=2，即可求得PO=1，由AB是直径，AB⊥CD所以利用垂径定理得到CP=PD，再利用相交弦定理就可以得到CP²=AP•BP，然后求出CD的长．

解答 解：∵AB为直径，CD⊥AB
∴PC=PD
∴CD=2PC，
∵AB=4，PA：PB=1：3，
∴PA=1，PB=3，OA=2，
∴PO=OA-PA=2-1=1，
由相交弦定理，得PC²=PA•PB=1×3=3，
∴PC=$\sqrt{3}$
∴CD=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了垂径定理、相交弦定理的应用．熟练掌握这两个定理是解题的关键．