Question

2．我们发现了一种“乘法就是减法”的非常有趣的运算：
①1×$\frac{1}{2}$=1-$\frac{1}{2}$：②2×$\frac{2}{3}$=2-$\frac{2}{3}$；  ③3×$\frac{3}{4}$=3-$\frac{3}{4}$； …
（1）请直接写出第4个等式是4×$\frac{4}{5}$=4-$\frac{4}{5}$；
（2）试用n（n为自然数，n≥1）来表示第n个等式所反映的规律是n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$；
（3）请说明（2）中猜想的结论是正确的．

Answer 1

分析 观察已知算式可以发现：等式左侧乘积的第一个因数是从1开始的连续自然数，第二个因数的分子和这个自然数相同，分母比分子大1；右侧恰是左侧两个因数的差；由此可以解决（1）和（2）；
（3）根据（2）中算式左侧和右侧进行分式运算比较即可．

解答 解：等式左侧乘积的第一个因数是从1开始的连续自然数，第二个因数的分子和这个自然数相同，分母比分子大1；右侧恰是左侧两个因数的差；
（1）第4个等式：4×$\frac{4}{5}$=4-$\frac{4}{5}$，
（2）第n个等式：n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$，
（3）证明：n×$\frac{n}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$，n-$\frac{n}{n+1}$=$\frac{n（n+1）{-n}^{2}}{n+1}$=$\frac{{n}^{2}}{n+1}$，
∴n×$\frac{n}{n+1}$=n-$\frac{n}{n+1}$，
∴（2）中猜想的结论是正确的．

点评 此题主要考察运算规律的探索应用与证明，观察已知算式找出规律是解题的关键．