Question

13．如图所示，在矩形ABCD中．AB=12，BC=5，点P从点B沿BC边向点C运动，点M从点D沿对角线DB向点B运动，且始终保持BP=DM．若设BP=x，△BPM的面积为y，请写出y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围．

Answer 1

分析 根据勾股定理可得BD=13，因为DM=x，所以BM=13-x，过点M作ME⊥BC于点E，可得到△BME∽△BDC，然后根据相似三角形的性质得到$\frac{ME}{DC}=\frac{BM}{BD}$，由此即可用x表示ME，最后根据三角形的面积公式即可确定函数关系式．

解答 解：∵AB=12，BC=5，
∴CD=12，
∴BD=13，
∵DM=x，
∴BM=13-x，
如图，过点M作ME⊥BC于点E，
∴ME∥DC，
∴△BME∽△BDC，
∴$\frac{ME}{DC}=\frac{BM}{BD}$，
∴ME=12-$\frac{12}{13}$x，
∵S_△MBP=$\frac{1}{2}$×BP×ME，
∴y=-$\frac{6}{13}$x²+6x，P不与B重合，那么x＞0，可与点C重合，那么x≤6．
∴y与x之间的函数关系式：y=-$\frac{6}{13}$x²+6x（0＜x≤5）．

点评 此题主要考查了动点问题的函数图象，相似三角形的性质和判定，求函数关系式．本题的难点是利用相似得到△MBP中BP边上的高ME的代数式，