Question

【题目】如图，为⊙的直径，是⊙上的两点，过作于点，过作于点，为上的任意一点，若，，，则的最小值是__________．

Answer 1

【答案】．

【解析】

先由MN=10求出⊙O的半径，再连接OA、OB，由勾股定理得出OD、OC的长，作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=3，过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，证出△AB′E是等腰直角三角形即可得出结果．

解：∵MN=10，
∴⊙O的半径=5，
连接OA、OB，
在Rt△OBD中，OB=5，BD=3，
∴OD=，

同理，在Rt△AOC中，OA=5，AC=4，
∴OC=，

∴CD=4+3=7，
作点B关于MN的对称点B′，连接AB′，
则AB′即为PA+PB的最小值，B′D=BD=3，
过点B′作AC的垂线，交AC的延长线于点E，如图所示：
则四边形CDB′E是矩形，
∴B′E=CD=7，CE=DB′=DB=3，
∵AE=AC+CE=4+3=7，B′E=CD=7，
∴△AB′E是等腰直角三角形，
∴AB′=AE=，

故答案为：.