Question

【题目】四边形的一条对角线将这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，那么我们将这条对角线叫做这个四边形的相似对角线．

(1)如图1，四边形ABCD中，∠DAB＝100°，∠DCB＝130°，对角线AC平分∠DAB，求证：AC是四边形ABCD的相似对角线；

(2)如图2，直线分别与x，y轴相交于A，B两点，P为反比例函数y＝(k＜0)上的点，若AO是四边形ABOP的相似对角线，求反比例函数的解析式；

(3)如图3，AC是四边形ABCD的相似对角线，点C的坐标为(3，1)，AC∥x轴，∠BCA＝∠DCA＝30°，连接BD，△BCD的面积为．过A，C两点的抛物线y＝ax2+bx+c(a＜0)与x轴交于E，F两点，记|m|＝AC+1，若直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，求实数a的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣；（3）a＝﹣或﹣．

【解析】

（1）如图1，设∠ACD＝α，则∠ACB＝130°﹣α，则∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，即可求解；

（2）分∠APO为直角、∠OAP为直角两种情况，分别求解即可；

（3）CH＝BC，则BH＝BC，△BCD的面积＝CDBH＝CD×HB＝，故CDBC＝4，而△BAC∽△ACD，故CD2＝BCCD＝4，故CD＝2，则点A（1，1），则抛物线的表达式为：y＝ax2+（4a+3）x+3a+1，AC＝1，则m＝±3，故直线的表达式为：y＝±3x，直线y＝﹣3x与抛物线有两个交点，而直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，则直线y＝3x与抛物线有一个交点，即可求解．

解：（1）如图1，设∠ACD＝α，则∠ACB＝130°﹣α，

∴∠B＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝180°﹣50°﹣（130°﹣α）＝α，

在△ABC和△ACD中，∠B＝∠ACD，∠BAC＝∠CAD，

∴△ABC∽△ACD，

∴AC是四边形ABCD的相似对角线；

（2）①当∠APO为直角时，

当∠OAP＝30°时，

过点P作PH⊥x轴于点H，

设OH＝x，则HP＝x，HA＝3x，则x+3x＝4，

解得：x＝1，故点P（1，﹣），故k＝﹣；

当∠AOP＝30°时，

同理可得：k＝﹣3；

②当∠OAP为直角时，

当∠OPA＝30°时，

点P（4，﹣4），k＝﹣16；

当∠AOP＝30°时，OA＝AO，∠OAP＝∠AOB＝90°，∠AOP＝∠OAB＝30°

∴△OAP≌△AOB，不符合相似对角线的定义，故舍去；

综上，反比例函数的表达式为：y＝﹣或y＝﹣或y＝﹣；

（3）如图3，过点B作BH⊥CD于点H，则∠CBH＝60°﹣∠BCD＝30°，

故CH＝BC，则BH＝BC，

△BCD的面积＝CDBH＝CD× BC＝，故CDBC＝4

而△BAC∽△ACD，故CA2＝BCCD＝4，故CA＝2，

则点A（1，1），而点C（3，1），

将点A、C的坐标代入抛物线表达式并解得：

抛物线的表达式为：y＝ax2﹣4ax+3a+1，

AC＝2，则m＝±3，

故直线的表达式为：y＝±3x，

直线y＝﹣3x与抛物线有两个交点，而直线y＝mx与抛物线恰好有3个交点，

则直线y＝3x与抛物线有一个交点，

联立直线y＝3x于抛物线的表达式并整理得：ax2﹣（4a+3）x+3a+1＝0，

△＝（4a+3）2﹣4a（3a+1）＝0，

解得：a＝﹣或﹣．