题目内容

【题目】如图⊙O的直径AB10cm,弦BC6cm,∠ACB的平分线交⊙OD,交ABEPAB延长线上一点,且PCPE

(l)求证:PC是⊙O的切线;

(2)ACAD的长.

【答案】1)见解析;(2AC8cmAD5cm

【解析】

1)连结OC,由PCPE得∠PCE=∠PEC,利用三角形外角性质得∠PEC=∠EAC+ACE=∠EAC+45°,加上∠CAB90°﹣∠ABC,∠ABC=∠OCB,于是可得到∠PCE90°﹣∠OCB+45°=90°﹣(∠OCE+45°)+45°,则∠OCE+PCE90°,于是根据切线的判定定理可得PCO的切线;

2)连结BD,如图,根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB90°,则可利用勾股定理计算出AC8;由DC平分∠ACB得∠ACD=∠BCD45°,根据圆周角定理得∠DAB=∠DBA45°,则△ADB为等腰直角三角形,由勾股定理即可得出AD的长.

1)证明:连结OC,如图所示:

PCPE

∴∠PCE=∠PEC

∵∠PEC=∠EAC+ACE=∠EAC+45°,

而∠CAB90°﹣∠ABC,∠ABC=∠OCB

∴∠PCE90°﹣∠OCB+45°=90°﹣(∠OCE+45°)+45°,

∴∠OCE+PCE90°,

即∠PCO90°,

OCPC

PCO的切线;

2)连结BD,如图所示,

AB为直径,

∴∠ACB90°,

RtACB中,AB10cmBC6cm

AC8cm);

DC平分∠ACB

∴∠ACD=∠BCD45°,

∴∠DAB=∠DBA45°

∴△ADB为等腰直角三角形,

cm).

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