题目内容
【题目】如图⊙O的直径AB=10cm,弦BC=6cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,交AB于E,P是AB延长线上一点,且PC=PE.
(l)求证:PC是⊙O的切线;
(2)求AC、AD的长.
【答案】(1)见解析;(2)AC=8cm,AD=5cm
【解析】
(1)连结OC,由PC=PE得∠PCE=∠PEC,利用三角形外角性质得∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°,加上∠CAB=90°﹣∠ABC,∠ABC=∠OCB,于是可得到∠PCE=90°﹣∠OCB+45°=90°﹣(∠OCE+45°)+45°,则∠OCE+∠PCE=90°,于是根据切线的判定定理可得PC为⊙O的切线;
(2)连结BD,如图,根据圆周角定理由AB为直径得∠ACB=90°,则可利用勾股定理计算出AC=8;由DC平分∠ACB得∠ACD=∠BCD=45°,根据圆周角定理得∠DAB=∠DBA=45°,则△ADB为等腰直角三角形,由勾股定理即可得出AD的长.
(1)证明:连结OC,如图所示:
∵PC=PE,
∴∠PCE=∠PEC,
∵∠PEC=∠EAC+∠ACE=∠EAC+45°,
而∠CAB=90°﹣∠ABC,∠ABC=∠OCB,
∴∠PCE=90°﹣∠OCB+45°=90°﹣(∠OCE+45°)+45°,
∴∠OCE+∠PCE=90°,
即∠PCO=90°,
∴OC⊥PC,
∴PC为⊙O的切线;
(2)连结BD,如图所示,
∵AB为直径,
∴∠ACB=90°,
在Rt△ACB中,AB=10cm,BC=6cm,
∴AC==8(cm);
∵DC平分∠ACB,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠DAB=∠DBA=45°
∴△ADB为等腰直角三角形,
∴(cm).

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