Question

如图，一张正方形纸板的边长为10cm，将它割去一个正方形，留下四个全等的直角三角形（图中阴影部分）．设AE=BF=CG=DH=x（cm），阴影部分的面积为y（cm²）
（1）求y关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；
（2）当x取何值时，阴影部分的面积达到最大，最大值为多少？
（3）当留下的四个直角三角形恰好能拼成一个正方形时（无缝无重叠），求此时x的值．

Answer 1

考点：二次函数的应用,一元二次方程的应用

专题：几何图形问题

分析：（1）利用直角三角形面积公式求出即可；
（2）利用配方法求出二次函数顶点式形式，得出x的值即可；
（3）利用正方形的性质得出两直角边的比，进而求出阴影部分面积．

解答：解：（1）设AE=BF=CG=DH=x（cm），
阴影部分的面积为：y=4×

1

2

x（10-x）=-2x²+20x，（0＜x＜10）；

（2）∵y=-2x²+20x=-2（x²-10x）=-2（x-5）²+50，
∴当x=5时，阴影部分的面积达到最大，最大值为50；

（3）当四个直角三角形刚好拼接成正方形时，
即两直角边的比为：1：2，
故x=2（10-x），
解得：x=

10

3

，
阴影部分的面积是：y=-2x²+20x=-2×（

10

3

）²+20×

10

3

=

400

9

．

点评：此题主要考查了二次函数的应用，利用正方形性质得出y与x的函数关系是解题关键．