Question

18．在△ABC中，已知∠A=70°．
（1）如图1，若点O是外心，则∠BOC=140°．
（2）如图2，若点I是内心，则∠BIC=125°．
（3）若将∠A=70°改为∠A=n°，则（1）中的∠BOC=2n°，（2）中的∠BIC=（90+$\frac{1}{2}$n）°（用含n的代数式表示）．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理即可求解；
（2）根据角平分线的定义以及三角形的内角和定理求解；
（3）与（1）（2）解法相同．

解答 解：（1）∠BOC=2∠A=2×70=140°，
故答案是：140°；
（2）∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°，
∵BI是∠ABC的平分线，即∠IBC=$\frac{1}{2}$∠ABC，同理∠ICB=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∴∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$×110°=55°．
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-55°=125°，
故答案是：125°；
（3）∠BOC=2∠A=2n°；
同（2）∠IBC+∠ICB=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠ACB）=$\frac{1}{2}$（180°-∠A）=$\frac{1}{2}$（180°-n°）．
∴∠BIC=180°-（∠IBC+∠ICB）=180°-$\frac{1}{2}$（180°-n°）=90°+$\frac{1}{2}$n°=（90+$\frac{1}{2}$n）°．
故答案是：2n°，（90+$\frac{1}{2}$n）°．

点评 本题考查了圆周角定理和三角形的角的平分线的定义，理解外心和内心的定义是关键．