Question

8．如图，PA、PB是⊙O的切线，CD切⊙O于E，PA=6，∠APB=60°．求：
（1）△PDC的周长；
（2）⊙O的半径；
（3）∠COD的度数．

Answer 1

分析 （1）通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PDE的周长等于PA+PB即可得出答案；
（2）根据切线长定理得出∠OPA=30°，可知OP=2OA，再利用勾股定理求出圆的半径；
（3）根据切线的性质和∠APB=60°，可知∠AOB=120°，再根据切线长定理可知OC、OD分别平分∠AOE、∠BOE，于是∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°．

解答 解：（1）∵CA，CE都是圆O的切线，
∴CA=CE，
同理DE=DB，PA=PB，
∴△PDC的周长=PD+CD+PC=PD+PC+CA+BD=PA+PB=2PA=12；
（2）连接OA，OP，则OA⊥PA，
∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠APO=$\frac{1}{2}$∠APB=30°，
∴在Rt△AOP中，PO=2AO，
故OA²+6²=（2AO）²，
解得：OA=2$\sqrt{3}$，
∴⊙O的半径为2$\sqrt{3}$；
（3）∵PA、PB是⊙O的切线，
∴∠PAO=∠PBO=90°，
∵∠APB=60°，
∴∠AOB=120°，
根据切线长定理可知OC、OD分别平分∠ACE、∠BDE，
∴OC、OD分别平分∠AOE、∠BOE，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°．

点评 本题考查了切线长定理，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．