Question

3．在直角坐标系中，已知点P（a，b）（|a|≠|b|），设点P关于直线y=x的对称点为Q，点P关于原点的对称点为R，若△PQR的三个内角中有两个角之和为150°，设△PQR的最长边为c，最短边为b，另外一条边为a，求证：a²=b（b+c）．

Answer 1

分析 连结OQ．先由题意得出OP=OQ=OR，易证∠PQR=∠P+∠Q=90°，由△PQR的三个内角中有两个角之和为150°，得出此三角形中有一个角为60°，则最小角是30°，根据含30°角的直角三角形的性质以及勾股定理得出c=2b，a=$\sqrt{3}$b，即可证明a²=b（b+c）．

解答 证明：如图，连结OQ．
∵点P关于直线y=x的对称点为Q，
∴OP=OQ，
∴∠P=∠OQP，
∵点P关于原点的对称点为R，
∴OP=OR，
∴OQ=OR，
∴∠R=∠OQR，
∴∠P+∠Q=∠OQP+∠OQR=∠PQR，
∵∠P+∠Q+∠PQR=180°，
∴∠PQR=∠P+∠Q=90°，
∵△PQR的三个内角中有两个角之和为150°，不妨设∠PQR+∠P=150°，
∴∠P=60°，
∴∠R=30°，
∴c=2b，a=$\sqrt{3}$b，
∴a²=3b²，b（b+c）=b（b+2b）=3b²，
∴a²=b（b+c）．

点评 本题考查了勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，三角形内角和定理，坐标与图形性质，证明△PQR是直角三角形是解题的关键．