题目内容
如图，双曲线y=| k |
| x |
| CE |
| CB |
| AF |
| AB |
| CE |
| CB |
| OM |
| OB |
（1）当B（2，2）时，M是OB中点时，点E坐标是
| CE |
| CB |
（2）当B（4，3）时，
| OM |
| OB |
| 1 |
| 5 |
| CE |
| CB |
| OM |
| OB |
| 1 |
| n |
| CE |
| CB |
（3）当
| OM |
| OB |
| 1 |
| 2 |
考点：反比例函数综合题
专题：综合题
分析：（1）由B（2，2），M是OB中点确定M点坐标为（1，1），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到反比例函数解析式为y=
，然后确定E点坐标为（
，2）；则可计算出
=
；
（2）作MN⊥x轴于N，根据勾股定理计算出OB=5，再证明△OMN∽△OBA，利用相似比计算出MN=
，ON=
，得到M（
，
），根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=
，即反比例函数解析式为y=
，然后确定E点坐标为（
，4），则可计算出
=
=
，
当
=
时，根据前面的计算结果可得到
=
；
（3）由（2）中的结论由
=
得
=
，利用反比例函数比例系数的几何意义得到S△OCE=S△OFA，则
OC•CE=
OA•AF，即
=
，所以
=
=
，则可设AF=m，OM=n，则AB=4m，OB=2n，然后证明△BMF∽△BAO，利用相似比得
=
，所以n=
m，再在Rt△ABO中，根据正弦的定义求解．
| 1 |
| x |
| 1 |
| 2 |
| CE |
| CB |
| 1 |
| 4 |
（2）作MN⊥x轴于N，根据勾股定理计算出OB=5，再证明△OMN∽△OBA，利用相似比计算出MN=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
| 12 |
| 25 |
| 12 |
| 25x |
| 4 |
| 25 |
| CE |
| CB |
| ||
| 4 |
| 1 |
| 25 |
当
| OM |
| OB |
| 1 |
| n |
| CE |
| CB |
| 1 |
| n2 |
（3）由（2）中的结论由
| OM |
| OB |
| 1 |
| 2 |
| CE |
| CB |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AF |
| OC |
| CE |
| OA |
| AF |
| AB |
| CE |
| CB |
| 1 |
| 4 |
| n |
| 4m |
| 3m |
| 2n |
| 6 |
解答：解：（1）∵B（2，2），M是OB中点
∴M点坐标为（1，1），
∴k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=
，
∵四边形OABC为矩形，
∴E点的纵坐标和B的纵坐标相等，
把y=2代入y=
得x=
，
∴E点坐标为（
，2）；
∴
=
=
；
（2）作MN⊥x轴于N，如图，
∴B点坐标为（4，3），
∴OA=4，AB=3，
在Rt△OAB中，OB=
=5，
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OBA，
∴
=
=
，即
=
=
∴MN=
，ON=
，
∴M（
，
），
∴k=
×
=
，即反比例函数解析式为y=
，
把y=3代入得x=
，
∴CE=
，
∴E点坐标为（
，4），
∴
=
=
，
当
=
时，
=
；
故答案为（
，1），
；
；
（3）∵
=
，
∴
=
，
∵S△OCE=S△OFA，
∴
OC•CE=
OA•AF，
∴
=
，
而OA=BC，OC=AB，
∴
=
=
，
设AF=m，OM=n，则AB=4m，OB=2n，
∵∠BMF=90°，∠MAF=∠ABO，
∴△BMF∽△BAO，
∴
=
，即
=
，
∴n=
m，
在Rt△ABO中，sin∠BOA=
=
=
=
=
．
∴M点坐标为（1，1），
∴k=1×1=1，即反比例函数解析式为y=
| 1 |
| x |
∵四边形OABC为矩形，
∴E点的纵坐标和B的纵坐标相等，
把y=2代入y=
| 1 |
| x |
| 1 |
| 2 |
∴E点坐标为（
| 1 |
| 2 |
∴
| CE |
| CB |
| ||
| 2 |
| 1 |
| 4 |
（2）作MN⊥x轴于N，如图，
∴B点坐标为（4，3），
∴OA=4，AB=3，
在Rt△OAB中，OB=
| 32+42 |
∵MN∥AB，
∴△OMN∽△OBA，
∴
| MN |
| AB |
| ON |
| OA |
| OM |
| OB |
| MN |
| 3 |
| ON |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
∴MN=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
∴M（
| 4 |
| 5 |
| 3 |
| 5 |
∴k=
| 3 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
| 12 |
| 25 |
| 12 |
| 25x |
把y=3代入得x=
| 4 |
| 25 |
∴CE=
| 4 |
| 25 |
∴E点坐标为（
| 4 |
| 25 |
∴
| CE |
| CB |
| ||
| 4 |
| 1 |
| 25 |
当
| OM |
| OB |
| 1 |
| n |
| CE |
| CB |
| 1 |
| n2 |
故答案为（
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| n2 |
（3）∵
| OM |
| OB |
| 1 |
| 2 |
∴
| CE |
| CB |
| 1 |
| 4 |
∵S△OCE=S△OFA，
∴
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴
| AF |
| OC |
| CE |
| OA |
而OA=BC，OC=AB，
∴
| AF |
| AB |
| CE |
| CB |
| 1 |
| 4 |
设AF=m，OM=n，则AB=4m，OB=2n，
∵∠BMF=90°，∠MAF=∠ABO，
∴△BMF∽△BAO，
∴
| BM |
| AB |
| BF |
| OB |
| n |
| 4m |
| 3m |
| 2n |
∴n=
| 6 |
在Rt△ABO中，sin∠BOA=
| AB |
| OB |
| 4m |
| 2n |
| 2m |
| n |
| 2m | ||
|
| ||
| 3 |
点评：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和矩形的性质；会运用相似三角形的判定与性质和勾股定理进行几何运算．
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