Question

九年级（1）班为即将到来的“五•一”国际劳动节排练节目时需要3个底面圆半径为10厘米，母线长为20厘米的圆锥形小红帽（不计接缝损失）．
（1）试确定这种圆锥形小红帽侧面展开图（扇形）的圆心角的度数；
（2）现有宽为40厘米的矩形布料可供选用，按照题目要求在图1中画出使布料能充分利用（最省料）的示意图，并求出矩形布料的长至少为多少厘米．

Answer 1

考点：圆锥的计算,勾股定理,相切两圆的性质

专题：

分析：（1）利用圆锥底面圆的周长等于展开图的扇形弧长求出圆心角即可；
（2）利用扇形的圆心角为180°，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形的半径为20厘米的半圆，结合⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃两两外切，由两圆外切的性质得出和勾股定理求出O₃E的长，进而得出EO₃=O₁D，以及矩形布料的长至少应为(20+20

3

)厘米．

解答：解：（1）设圆心角的度数为n°，则

nπ×20

180

=2π×10．（3分）
所以n=180．所以此圆锥形小红帽侧面展开图的圆心角度数为180°．（5分）

（2）因为扇形的圆心角为180°，圆锥母线长为20厘米，所以这个扇形的半径为20厘米的半圆．
如图1所示，当三个半圆所在圆两两外切，且半圆的直径与长方形的边垂直时，能使布料得以充分利用．（10分）
如图2，连接O₁O₂，O₂O₃，O₃O₁．
因为⊙O₁，⊙O₂，⊙O₃两两外切，AO₁=BO₂=CO₃=20，
所以O₁O₂=O₂O₃=O₃O₁=O₁A+CO₃=40．
过点O₃作O₃E⊥O₁O₂，垂足为E．
因为O₂O₃=O₁O₃，
所以O1E=O2E=

1

2

O1O2=20．
在△O₁EO₃中，∠O₁EO₃=90°，
根据勾股定理EO3=

O1O32-O1E2

=

402-202

=20

3

．（15分）
因为四边形ABCD是矩形，
所以AD∥BC，AD=BC，∠A=∠D=90°．
因为AO₁=BO₂，AO₁∥BO₂，
所以四边形ABO₂O₁是矩形．
所以∠AO₁O₂=90°．
所以O₁E∥DO₃．
又因为O₁E=DO₃，
所以四边形O₁EO₃D是平行四边形．
所以EO₃=O₁D．
所以AD=AO1+O1D=20+20

3

．（20分）
因此矩形布料的长至少应为(20+20

3

)厘米．

点评：此题主要考查了圆锥的有关计算以及两圆外切的性质和勾股定理等知识，利用相切两圆性质得出EO₃=O₁D的长是解题关键．