Question

如图，半径为2的⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，弦MN=2，且MN在正方形的对角线BD上，则正方形的边长为

 

．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：压轴题

分析：首先取BD的中点E，连接AE，OM，ON，OP，OQ，由BD是正方形ABCD的对角线，可得AE⊥BD，又由⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，证得四边形APOQ是正方形，根据切线长定理，可得AE过圆心O，则可求得OE与OA的长，可得AE的长，继而求得答案．

解答：解：取BD的中点E，连接AE，OM，ON，OP，OQ，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴AE⊥BD，
∵⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，
∴OP⊥AB，OQ⊥AD，
∵OP=OQ，
∴四边形APOQ是正方形，
∴OA=

2

OQ=2

2

，
∴∠QAE=∠PAE，
∴AE过⊙O的圆心O，
∴OE⊥BD，
∵OM=ON=MN=2，
∴OE=

3

，
∴AE=OA+OE=2

2

+

3

，
∴AB=

AE

sin45°

=

2

AE=4+

6

．
故答案为：4+

6

．

点评：此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．