Question

如果一个数能表示成x²+2xy+2y²（x，y是整数），我们称这个数为“好数”．
（1）判断29是否为“好数”？
（2）写出1，2，3，…，20中的“好数”．
（3）如果m，n都是“好数”，求证：mn是“好数”．

Answer 1

考点：有理数无理数的概念与运算

专题：综合题

分析：（1）根据x²+2xy+2y²=（x+y）²+y²可以得到好数特征，根据“好数”定义判断29是否为“好数”．
（2）根据好数的定义判断1，2，3，…，20中的“好数”．
（3）设m=x²+2xy+2y²，n=p²+2pq+2q²，化简mn=[（x+y）（p+q）+qy]²+[q（x+y）-y（p+q）]²，令 u+v=（x+y）（p+q）+qy，v=q（x+y）-y（p+q），于是可以判断出mn为“好数”．

解答：解：（1）x²+2xy+2y²=（x+y）²+y²，
特征：“好数”是“好数”就是两个整数的平方和，
而29=5²+2²，
故29是“好数”，

（2）1，2，3，…，20中的“好数”的有1、2、4、5、8、9，10，13，16，17，18，20，

（3）m=x²+2xy+2y²，n=p²+2pq+2q²．则 mn=（x²+2xy+2y²）（p²+2pq+2q²）=[（x+y）²+y²][（p+q）²+q²]=[（x+y）（p+q）+qy]²+[q（x+y）-y（p+q）]²，
令 u+v=（x+y）（p+q）+qy，v=q（x+y）-y（p+q）．
那么 mn=（u+v）²+v²=u²+2uv+2v²，
因为x，y，p，q均为整数，所以（x+y）（p+q）+qy，q（x+y）-y（p+q）也为整数，
所以u+v，v为整数，所以u，v为整数．因此mn为“好数”．

点评：本题主要考查有理数无理数的概念与运算，解答本题的关键是掌握“好数”的定义和完全平方式的知识，难度不大．