Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=10，O是BD上一点，以O为圆心作圆与AB相切于点G，
（1）证明：圆O与BC相交；
（2）设圆O与BC的公共点为E、F，连接DF，若DF与圆O相切，求OB的长．

Answer 1

考点：切线的性质,矩形的性质,直线与圆的位置关系

专题：计算题

分析：（1）作OH⊥BC于H，连结OG，根据切线的性质得OG⊥AB，则可判断四边形BGOH为矩形，所以OH=BG，再证明△BGO∽△BAD，利用相似比得到BG=

3

5

OG，即OH=

3

5

OG，即OH＜OG，然后根据直线与圆的位置关系可判断圆O与BC相交；
（2）连结OF，设⊙O的半径为r，则BH=r，根据勾股定理得BD=2

34

，再证明△BOH∽△BDC，根据相似的性质得

BO

BD

=

BH

BC

=

OH

DC

，可得到OH=

3

5

r，BO=

34

5

r，在Rt△OHF中，利用勾股定理可得到HF=

4

5

r，由于DF与圆O相切，根据切线的性质得∠OFD=90°，然后证明Rt△OHF∽Rt△FCD，利用相似比计算出FC=

9

2

，由于BC=BH+HF+FC，即r+

4

5

r+

9

2

=10，解得r=

55

18

，所以OB=

34

5

r=

11 34

18

．

解答：（1）证明：作OH⊥BC于H，连结OG，如图，
∵⊙O与AB相切于点G，
∴OG⊥AB，
∴四边形BGOH为矩形，
∴OH=BG，
∵OG∥AB，
∴△BGO∽△BAD，
∴

BG

BA

=

OG

AD

，
∴BG=

3

5

OG，
∴OH=

3

5

OG，即OH＜OG，
∴圆O与BC相交；
（2）解：连结OF，如图，设⊙O的半径为r，则BH=r，
在Rt△ABD中，AD=10，AB=6，
∴BD=

AD2+AB2

=2

34

，
∵OH∥DC，
∴△BOH∽△BDC，
∴

BO

BD

=

BH

BC

=

OH

DC

，即

BO

2 34

=

r

10

=

OH

6

，
∴OH=

3

5

r，BO=

34

5

r，
在Rt△OHF中，OF=r，OH=

3

5

r，
∴HF=

OF2-OH2

=

4

5

r，
∵DF与圆O相切，
∴∠OFD=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
∴Rt△OHF∽Rt△FCD，
∴

OH

FC

=

HF

CD

，即

3 5 r

FC

=

4 5 r

6

，
∴FC=

9

2

，
∵BC=BH+HF+FC，
∴r+

4

5

r+

9

2

=10，
∴r=

55

18

，
∴OB=

34

5

×

55

18

=

11 34

18

．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．也考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质和直线与圆的位置关系．