Question

如图，在直角梯形AOCB中，AB∥OC，∠AOC=90°，AB=1，AO=2，OC=3，以O为原点，OC，OA所在直线为轴建立坐标系．抛物线顶点为A，且经过点C．点P在线段AO上由A向点O运动，点Q在线    段OC上由C向点O运动，QD⊥OC交 直线BC于点D，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P、Q分别以每秒2个单位和3个单位的速度同时出发，运动的时间为t秒，
①连结PQ，△OPQ能否成为等腰直角三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
②当t为何值时，△PAB与△ODQ相似？
③△PDC的面积S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并说出此时点P，Q的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）直接设抛物线为y=a（x-0）²+2，再将C点坐标代入求出即可；
（2）①假设能，则OP=OQ，即：2-2t=3-3t，求出t的值，此时，点P、Q、O重合，得出答案即可；
②要使△PAB与△ODQ相似，已有条件：∠PAB=∠OQD=90°，只需夹边成比例即：

AP

AB

=

QO

QD

或

AP

AB

=

QD

QO

，求出t的值即可；
③首先求出直线BC，PC的解析式，进而得出DD′的长，表示出S与t的函数解析式，在0≤t≤1时上升，则当t=1时S最大为

9

2

，即可得出答案．

解答：解：（1）依题意设抛物线为y=a（x-0）²+2，
把C（3，0）代入得a=-

2

9

，
∴y=-

2

9

x²+2；

（2）①不能．假设能，则OP=OQ，即：2-2t=3-3t，
解得：t=1，此时，点P、Q、O重合；
②要使△PAB与△ODQ相似，已有条件：∠PAB=∠OQD=90°，只需夹边成比例
即：

AP

AB

=

QO

QD

或

AP

AB

=

QD

QO

，
即

2t

1

=

3-3t

3t

或

2t

1

=

3t

3-3t

 （可求∠BCO=45°，因此QD=QC=3t），
解得t₁=-1（舍），t₂=

1

2

，t₃=0（舍），t₄=

1

2

，
综上，当t=

1

2

时，两个三角形相似；

③连结PD、PC、DC，PC交DQ于D′，
∵B（1，2），C（3，0），
设直线BC的解析式为：y=kx+e，
∴

k+b=2 3k+b=0

，
解得：

k=-1 b=3

∴直线BC的解析式为：y=-x+3，
∴D（3-3t，3t）
∵P（0，2-2t），C（3，0），
设直线PC的解析式为：y=gx+f，

f=2-2t 3g+f=0

，
解得：

f=2-2t g= 2t-2 3

∴直线PC的解析式为：y=

2t-2

3

x+2-2t，
∴D′（3-3t，-2t²+2t）
∴DD′=3t-（-2t²+2t）=2t²+t
∴S=

1

2

（2t²+t）×3=3t²+

3

2

t，
∵对称轴为直线t=-

1

4

，开口向上，
∴在0≤t≤1时上升
∴当t=1时S最大为

9

2

，
此时P、Q与O重合．

点评：此题主要考查了二次函数综合以及待定系数法求二次函数以及一次函数解析式等知识，表示出S与t的函数关系式是解题关键．