Question

2．在直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴和y轴分别交于A、B两点，在y轴上取一点C，如果使B关于直线AC的对称点在x轴上，求点C的坐标．

Answer 1

分析 如图，首先求出OA、OB、AB的长度；运用角平分线的性质求出OC的长度，即可解决问题．

解答 解：过C作CD⊥AB于D，如图1，

对于直线y=-$\frac{3}{4}$x+3，
当x=0，得y=3；
当y=0，x=4，
∴A（4，0），B（0，3），即OA=4，OB=3，
∴AB=5，
又∵坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在x轴上，
∴AC平分∠OAB，
∴CD=CO=n，则BC=3-n，
∴DA=OA=4，
∴DB=5-4=1，
在Rt△BCD中，DC²+BD²=BC²，
∴n²+1²=（3-n）²，解得n=$\frac{4}{3}$，
∴点C的坐标为（0，$\frac{4}{3}$）；
当点B关于AC的对称点D落在x轴的正半轴时，此时AD=AB=5，
由对称性可得BC=DC，
则OD=AD+OA=5+4=9，
设OC=m，则DC=BC=OB+OC=3+m，
在RT△COD中，有OD²+OC²=DC²，
即有9²+m²=（3+m）²，
解得：m=12，
此时C的坐标为（0，-12）
故点C的坐标为（0，$\frac{4}{3}$）或（0，-12）．

点评 本题考查了求直线与坐标轴交点的坐标的方法：分别令x=0或y=0，求对应的y或x的值；也考查了折叠的性质和勾股定理．