Question

11．如图，AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，A，C是切点，PB交⊙O于点D．
（1）求证：∠APC=2∠BDC；
（2）若CD∥AB，求sin∠BDC的值．

Answer 1

分析 （1）连接AC、OP，交于点E，根据切线长定理得出OA⊥PA，OP⊥AC，∠OPA=∠OPC=$\frac{1}{2}$∠APC，根据圆周角定理得出∠BDC=∠BAC，即可证得结论；
（2）连接AD，CB，过点P作PE⊥CB交BC的延长线于E，由PA、PC是⊙O的切线，得到PA=PC，∠3=∠5，∠1=∠2，由于AB∥CD，得到∠ABC=∠DCE，推出∠3=∠4，∠5=∠4，通过△ADP≌△CPE，得到AD=CE，PD=PE，设PE=PD=a，CE=BC=AD=b，由射影定理得 2a²=b²，由勾股定理得PA=PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$a，于是得到结果sin∠BDC=sin∠5=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

解答 解：（1）连接AC、OP，交于点E，如图1，
∵AB是⊙O的直径，PA，PC是⊙O的切线，
∴OA⊥PA，OP⊥AC，∠OPA=∠OPC=$\frac{1}{2}$∠APC，
∵∠AOP=∠EOA，∠AEO=∠PAO=90°，
∴∠BAC=∠OPA=$\frac{1}{2}$∠APC，
∴∠APC=2∠BAC，
∵∠BDC=∠BAC，
∴∠APC=2∠BDC；

（2）连接AD，BC，过点P作PE⊥BC交BC的延长线于E，如图2，
∵PA、PC是⊙O的切线，
∴PA=PC，∠3=∠5，∠1=∠2，
∵CD∥AB，
∴∠ABC=∠DCE，
∴∠3=∠4，
∴∠5=∠4，
在△ADP与△CEP中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=PEC=90°}\\{∠5=∠4}\\{PA=PC}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△CEP，
∴AD=CE，PD=PE，
∵AB∥CD，
∴AD=BC，
设PE=PD=a，CE=BC=AD=b，
∵∠BAP=90°，
由射影定理得：AD²=PD•BD，
∴BD=$\frac{A{D}^{2}}{PD}$=$\frac{{b}^{2}}{a}$，
∴PB=$\frac{{b}^{2}}{a}$+a，BE=2b，
在Rt△PBE中，（2b）²+a²=（$\frac{{b}^{2}}{a}$+a）²，
∴2a²=b²，
在Rt△PCE中．PA=PC=$\sqrt{P{E}^{2}+C{E}^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=$\sqrt{3}$a
∴sin∠5=$\frac{PD}{PA}$=$\frac{a}{\sqrt{3}a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∵AB∥CD，
∴∠BDC=∠3，
∵∠3=∠5，
∴sin∠BDC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．