Question

20．解方程式：$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+{y}^{2}=26①}\\{{x}^{2}-4xy-5{y}^{2}=0②}\end{array}\right.$．

Answer 1

分析 将方程②左边因式分解后可得x=-y或x=5y，分别将x=-y、x=5y代入方程①，求每个方程组的解可得．

解答 解：由②可得，（x+y）（x-5y）=0，
即x+y=0或x-5y=0，
∴x=-y或x=5y，
当x=-y时，把x=-y代入①，得：2y²=26，
解得：y=±$\sqrt{13}$，
故方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{13}}\\{y=\sqrt{13}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{13}}\\{y=-\sqrt{13}}\end{array}\right.$；
当x=5y时，把x=5y代入①，得：25y²+y²=26，
解得：y=±1，
故方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-1}\end{array}\right.$，；
综上，该方程组的解为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-\sqrt{13}}\\{y=\sqrt{13}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{13}}\\{y=-\sqrt{13}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-5}\\{y=-1}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查解高次方程的能力，解高次方程的根本思想是化归思想，次数较高可通过因式分解再代入等方法降幂求解即可．