Question

16．数学课上，老师要求学生证明：“到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上”，请你结合图形书写已知、求证，并完成证明过程：
已知：P是∠AOB内任一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D两点，PC=PD；．
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：

Answer 1

分析 根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质证明结论．

解答 已知：P是∠AOB内任一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D两点，PC=PD；
求证：点P在∠AOB的平分线上；
证明：连结OP；如图所示：
∵PC⊥OA，PD⊥OB，
∴∠PCO=∠PDO=90°，…（4分）
在Rt△OPC 和Rt△OPD中，$\left\{\begin{array}{l}{OP=OP}\\{PC=PD}\end{array}\right.$，
∴Rt△OPC≌Rt△OPD（HL）；
∴∠POA=∠POB，
∴OP是∠AOB的平分线，
即点P在∠AOB的平分线上；
故答案为：P是∠AOB内任一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D两点，PC=PD；
点P在∠AOB的平分线上．

点评 本题考查的是角平分线的判定的证明，灵活运用直角三角形全等的判定定理是解题的关键．