Question

19．观察下列式子．猜想规律并完成问题：
1²+2²＞2×1×2；
（$\sqrt{2}$）²+（$\frac{1}{2}$）²＞2×$\sqrt{2}×\frac{1}{2}$
（-2）²+3²＞2×（-2）×3；
（$\sqrt{8}$）²+（$\sqrt{2}$）²＞2×$\sqrt{8}$×$\sqrt{2}$
…
（1）a²+b²＞2ab（a≠b）；
（2）根据上述规律，试求出代数式x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据题目中给出的式子，可以发现其规律，从而可以得到a²+b²与2ab的关系；
（2）根据上面的规律，通过讨论x≠$\frac{1}{x}$和x=$\frac{1}{x}$，可以得到代数式x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值．

解答 解：（1）由题目可得，a≠b，
a²+b²＞2×a×b=2ab，
即a²+b²＞2ab．
故答案为：＞；
（2）根据上面的规律可知，当x≠$\frac{1}{x}$，x＞0时，x+$\frac{1}{x}$＞2×$\sqrt{x}×\frac{1}{\sqrt{x}}$=2，
当$x=\frac{1}{x}$，x＞0时，得x=1，则$x+\frac{1}{x}=1+1=2$，
即代数式x+$\frac{1}{x}$（x＞0）的最小值是2．

点评 本题考查完全平方公式，解题的关键是明确题意，发现其中的规律，利用分类讨论的数学思想求得所要求得问题答案．