题目内容
8．
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（1，3）设经过A，O两点且顶点C在直线AB上的抛物线为m．（1）求直线AB和抛物线m的函数解析式．
（2）若将抛物线m沿射线AB方向平移（顶点C始终在AB上），设移动后的抛物线与x轴的右交点为D．
①在上述移动过程中，当顶点C在水平方向上移动3个单位长度时，A与D之间的距离是多少？
②当顶点在水平方向移动a（a＞0）个单位长度时，请用含a的代数式表示AD的长．
分析 （1）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据点A、B的坐标利用待定系数法即可求出直线AB的解析式，根据抛物线过点A、O即可得出抛物线的对称轴，由顶点在直线AB上即可找出顶点C的坐标，设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+1，根据点O的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）①根据点C的坐标以及平移的性质可找出平移后的顶点坐标（2，4），由此即可得出平移后的抛物线的解析式，令y=0，求出x值，点D横坐标取x中的较大值，再结合点A的坐标即可得出线段AD的长度；
②根据点C的坐标以及平移的性质可找出平移后的顶点坐标（a-1，a+1），由此即可得出平移后的抛物线的解析式，令y=0，求出x值，点D横坐标取x中的较大值，再结合点A的坐标即可得出线段AD的长度．
解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{0=-2k+b}\\{3=k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=x+2．
∵抛物线m经过A、O两点，
∴抛物线的对称轴为x=-1，
∵抛物线顶点在直线AB上，
∴y=-1+2=1，
∴抛物线的顶点C（-1，1）．
设抛物线的解析式为y=a（x+1）2+1，
将（0，0）代入y=a（x+1）2+1中，有0=a（0+1）2+1，
解得：a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-（x+1）2+1=-x2-2x．
（2）①根据题意，顶点在水平方向上向右平移了3个单位长度，顶点的横坐标为-1+3=2，纵坐标为x+2=2+2=4，
∴平移后的抛物线为y=-（x-2）2+4，
当y=0时，有-（x-2）2+4=0，
解得：x1=0，x2=4，
∴D（4，0），
∴AD=4-（-2）=6．
②当顶点在水平方向上向右平移了a个单位长度时，顶点为（a-1，a+1），
∴平移后的抛物线为y=-（x-a+1）2+a+1，
当y=0时，（x-a+1）2=a+1，
解得：x=a-1±$\sqrt{a+1}$，
∴D（a-1+$\sqrt{a+1}$，0），
∴AD=a-1+$\sqrt{a+1}$-（-2）=a+1+$\sqrt{a+1}$．
点评 本题考查了待定系数法函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及平移的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出直线与抛物线的函数解析式；（2）根据平移的性质找出平移后抛物线顶点坐标．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目是，根据点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式是关键．
每课必练系列答案
如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设∠AOD=α．解答下列问题：
如图，已知抛物线y=$\frac{k}{8}$（x+2）（x-4）（k为常数，且k＞0）与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+b与抛物线的另一交点为D．