题目内容
13．
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．点O是AC的中点，过点O的直线l与AB边相交于点D．过点C作CE∥AB交直线l于点E，设∠AOD=α．解答下列问题：（1）①当α=60度时，四边形EDBC是直角梯形；
②当α=30度时，四边形EDBC是等腰梯形，此时AD的长为$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）当α=90°时，判断四边形EDBC是否为菱形，并说明理由．
分析 （1）①如图1，由于∠A=30°，α=60°，则∠ADO=90°，再利用CE∥AB，所以∠CED=90°，于是可判断四边形EDBC是直角梯形；
②如图1，作DH⊥OA于H，由α=30°，则利用三角形外角性质得∠BDO=∠A+∠AOD=60°，然后可判断四边形EDBC是等腰梯形；再利用含30度的直角三角形三边的关系可得到AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，则AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，接着根据等腰三角形的性质得AH=OH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，于是利用含30度的直角三角形三边的关系可计算出DH=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，AD=2DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）先判断四边形BDEC为平行四边形，再证明△AOD≌△COE得到OE=OD，则DE=OD，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD=2OD，AB=2BC，接着证明BC=2OD，所以ED=AD=BD，于是可判断四边形EDBC为菱形．
解答 解：（1）①当α=60°时，四边形EDBC是直角梯形．理由如下：
如图1，
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∵α=60°，
∴∠ADO=90°，
∵CE∥AB，
∴∠CED=90°，
∴四边形EDBC是直角梯形；
②当α=30°时，四边形EDBC是等腰梯形．理由如下：
如图1，作DH⊥OA于H，
∵α=30°，
∴∠BDO=∠A+∠AOD=30°+30°=60°，
而CE∥BD，
∴四边形EDBC是等腰梯形；
∵∠ACB=90°，∠B=60°，
∴∠A=30°，
∴AC=$\sqrt{3}$BC=2$\sqrt{3}$，
∵点O是AC的中点，
∴AO=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{3}$，
∵∠A=∠AOD，
∴AH=OH=$\frac{1}{2}$OA=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
在Rt△ADH中，DH=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
AD=2DH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
故答案为60°；30°，$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
（2）当α=90°时，四边形EDBC为菱形．理由如下：
∵∠ACB=∠AOD=90°，
∴DE∥BC，
∵CE∥BD，
∴四边形BDEC为平行四边形，
在△AOD和△COE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠ECO}\\{OA=OC}\\{∠AOD=∠COD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△COE，
∴OE=OD，
∴DE=OD，
∵∠A=30°，
∴AD=2OD，AB=2BC，
∵OD∥BC，OA=OC，
∴BC=2OD，
∴ED=AD=BD，
∴四边形EDBC为菱形．
点评 本题考查了四边形的综合题：熟练掌握直角梯形、等腰梯形和菱形的判定方法；能灵活运用全等三角形的知识解决线段线段的问题；记住含30度的直角三角形三边的关系．
快捷英语周周练系列答案| A． | 两个面积相等的图形是全等图形 | B． | 两个等边三角形一定是全等图形 | ||
| C． | 半径相等的两个圆是全等图形 | D． | 两个含30°角的三角形是全等图形 |
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（1，3）设经过A，O两点且顶点C在直线AB上的抛物线为m．
如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AB；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠DOE=60°，其中正确的结论数是（ ）