题目内容
16．在正方形ABCD中，M、N是对角线AC上的两点
（1）如图①，AM=CN，连接DM并延长，交AB于点F，连接BN并延长，交DC于点E，连接BM、DN，求证：△MFB≌△NED．
（2）在解决第（1）问的过程中，你用到了“正方形ABCD”的哪些性质？如果改变“正方形”这个条件，第（1）问还可以解决吗？说说你的想法．
（3）如图②，AM≠CN，连接BM并延长交AD于点G，连接DH并延长交BC于点N，连接DM、BN，若∠AMB=105°，∠DNC=115°，求∠GMD+∠HNB的大小．
分析 （1）如图①中，连接BD交AC于O，先证明四边形BMDN是平行四边形，再根据NM⊥BD即可证明四边形MBND是菱形，证明四边形BFDE是平行四边形，得到∠BFM=∠DEN，再证明BM=DN，∠BMF=∠DNE即可解决问题．
（2）写出解决（1）问用到正方形的性质，再进行说明确实条件不能解决问题的缘由；
（3）先证明△NCB≌△NCD，得到∠BNC=∠DNC=115°，同理可证∠AMD=∠AMB=105°，求出∠GMD、∠HNB的度数即可解决问题．
解答 （1）证明：如图①中，连接BD交AC于O．
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，
∵AM=CN，
∴OM=ON，∵OB=OD，
∴四边形MBND是平行四边形，
∵MN⊥DB，
∴四边形MBND是菱形．
∴DM∥NB，BM=DN，∠DMB=∠DNB，
∴∠BMF=∠DNE，
∵BF∥DE，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠BFM=∠DEN，
在△MFB和△NED中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFM=∠DEN}\\{∠BMF=∠DNE}\\{MB=DN}\end{array}\right.$，
∴△MFB≌△NED．
（2）在解决第（1）问的过程中，用到了“正方形ABCD”的四边相等，对角线互相垂直平分，对角线平分对角；
如果改变了正方形这个条件，得不出四边形BFDE是平行四边形，进而全等也不能证明．
（3）如图②中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCN=∠DCN，BC=CD，
在△NCB和△NCD中，$\left\{\begin{array}{l}{CN=CN}\\{∠NCB=∠NCD}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△NCB≌△NCD，
∴∠BNC=∠DNC=115°，同理可证∠AMD=∠AMB=105°，
∵∠CNH=180°-∠DNC=65°，
∴∠BNH=∠BNC-∠CNH=50°，
∴∠DMG=105°-75°=30°，
∴∠GMD﹢∠HNB=30°+50°=80°．
点评 本题考查四边形综合题，涉及到了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，属于中考常考题型．
开心快乐假期作业暑假作业西安出版社系列答案
名题训练系列答案| A． | a2+2a | B． | -4y2+x2 | C． | （a+2b）2 | D． | （x2-1）2 |
| A． | y1＜y2 | B． | y1≤y2 | C． | y1＞y2 | D． | y1≥y2 |
正方形ABCD、正方形CEFG如图放置，点B，C，E在同一条直线上，点P在BC边上，PA=PF，且∠APF=90°，连结AF交CD于H，有下列结论：①BP=CE；②AP=AH；③∠BAP=∠GFP；④BC+CE=$\frac{1}{2}$AF2；⑤S正方形ABCD+S正方形CEFG=2S△APF．以上结论正确的个数有（ ）
如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-2，0），B（1，3）设经过A，O两点且顶点C在直线AB上的抛物线为m．