Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，过点B作BD⊥BC，BD=BC，连接AD交BC于点F．E是CD的中点，连接AE交BC于G．
（1）若AB=BD，求∠ADC的度数；
（2）若BC=4BF，且AB=4，求四边形ABDC的面积．

Answer 1

分析 （1）首先证明△ABC是等边三角形，推出∠ABC=60°，由BA=BC=BD，推出A、C、D三点在⊙B上，即可推出∠ADC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．
（2）连接BE．由∠DBC=90°，DE=EC，推出BE=EC=DE，由AB=AC，推出AE垂直平分BC，推出BG=CG，设BG=CG=a，则BC=BD=2a，由BF=$\frac{1}{4}$BC，推出BF=FG，由BD∥AG，推出△BFD∽△GFA，可得$\frac{BF}{FG}$=$\frac{BD}{AG}$=1，推出BD=AG=2a，在Rt△ABG中，根据AB²=AG²+BG²，列出方程求出a即可解决问题．

解答 解：（1）如图1中，

∵AB=AC，BD=BC，AB=BD，
∴AB=BC=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，
∵BA=BC=BD，
∴A、C、D三点在⊙B上，
∴∠ADC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°．

（2）如图2中，连接BE．

∵∠DBC=90°，DE=EC，
∴BE=EC=DE，∵AB=AC，
∴AE垂直平分BC，
∴BG=CG，设BG=CG=a，则BC=BD=2a，
∵BF=$\frac{1}{4}$BC，
∴BF=FG，
∵BD∥AG，
∴△BFD∽△GFA，
∴$\frac{BF}{FG}$=$\frac{BD}{AG}$=1，
∴BD=AG=2a，
在Rt△ABG中，∵AB²=AG²+BG²，
∴16=a²+4a²，
∴a²=$\frac{16}{5}$，
∴S_{四边形ABCD}=$\frac{1}{2}$•BC•AG+$\frac{1}{2}$•BC•BD=$\frac{1}{2}$×2a×2a+$\frac{1}{2}$×2a×2a=4a²=$\frac{64}{5}$．

点评 本题考查等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、四边形的面积、圆周角定理等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决角度问题，属于中考常考题型．