Question

16．已知，如图，OP是∠MON的平分线，PA⊥OM，PB⊥ON，A、B分别为垂足，点C、D分别在OA、OB上，∠CPD=$\frac{1}{2}$∠APB．
求证：PD是∠BDC的平分线．

Answer 1

分析 在ON上截取BE=AC，连接PE，根据角平分线的性质得出PA=PB，进而通过证得△PAC≌△PBE，证得
PC=PE，∠APC=∠BPE，进一步证得∠CPD=∠EPD，然后证得△CPD≌△EPD，即可证得结论．

解答 证明：在ON上截取BE=AC，连接PE，
∵PA⊥OM，PB⊥ON，OP是∠MON的平分线，
∴PA=PB，
在△PAC和△PBE中，
$\left\{\begin{array}{l}{PA=PB}\\{∠PAC=∠PBE=90°}\\{AC=BE}\end{array}\right.$
∴△PAC≌△PBE（SAS），
∴PC=PE，∠APC=∠BPE，
∵∠CPD=$\frac{1}{2}$∠APB，
∴∠APC+∠BPD=$\frac{1}{2}$∠APB，
∴∠BPE+∠BPD=$\frac{1}{2}$∠APB，
∴∠CPD=∠EPD，
在△CPD和△EPD中
$\left\{\begin{array}{l}{PC=PE}\\{∠CPD=∠EPD}\\{PD=PD}\end{array}\right.$
∴△CPD≌△EPD（SAS），
∴∠CDP=∠EDP，
∴PD是∠BDC的平分线．

点评 本题考查了角平分线的性质，三角形全等的判定和性质，作出辅助线构建全等三角形是解题的关键．