Question

4．如图，AB是⊙O的直径，DA、CB是⊙O的切线，CD切⊙O于E．
（1）若AD=4，BC=9，求⊙O的半径R；
（2）若OD=6．OC=8，求⊙O的半径R．

Answer 1

分析 （1）由切线长定理可知AD=DE，从而可证明△ADO≌△EDO，于是得到∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOE，同理：∠EOC=$\frac{1}{2}$∠EOB，∠DOE+∠EOC=$\frac{1}{2}$（∠AOE+∠EOB）=90°，然后证明△OAD∽△BOC，从而可求得R=6；
（2）由勾股定理先求得DC=10，然后利用面积法可求得OE=4.8，即R=4.8．

解答 解：如图1所示；连接OE．

∵DA、DE是圆O的切线，
∴AD=ED．
在△ADO和△EDO中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DE}\\{OA=OE}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△ADO≌△EDO．
∴∠AOD=∠EOD．
∴∠DOE=$\frac{1}{2}$∠AOE．
同理：∠EOC=$\frac{1}{2}$∠EOB．
∴∠DOE+∠EOC=$\frac{1}{2}$（∠AOE+∠EOB）=90°．
∴∠AOD+∠BOC=90°．
∵AD、BC是圆O的切线，AB是圆O的直径，
∴∠DAO=∠OBC=90°．
∴∠ADO+∠AOD=90°．
∴∠ADO=∠BOC．
∴△OAD∽△BOC．
∴$\frac{AD}{OA}=\frac{OB}{BC}$．
∴$\frac{4}{R}=\frac{R}{9}$．
解得：R=6．
（2）如图1所示：由（1）可知△DOC为直角三角形．
在Rt△DOC中，由勾股定理得：DC=$\sqrt{O{D}^{2}+O{C}^{2}}$=10．
∵$\frac{1}{2}DC•OE=\frac{1}{2}DO•OC$，
∴$\frac{1}{2}×10×OE=\frac{1}{2}×6×8$．
解得：OE=4.8．
∴R=4.8．

点评 本题考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，证得∠DOC=90°，从而得到△OAD∽△BOC是解题的关键．