Question

8．如图所示，小河中学九年级数学活动小组选定测量学校前面小河对岸大树BC的高度，他们在斜坡上D处测得大树顶端B的仰角是30°，朝大树方向下坡走6米到达坡底A处，在A处测得大树顶端B的仰角是48°．若斜坡FA的坡比i=1：$\sqrt{3}$，求大树的高度．（结果保留整数，参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，$\sqrt{3}$≈1.73）

Answer 1

分析 首先过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，由FA的坡比i=1：$\sqrt{3}$，DA=6，可求得AN与DN的长，然后设大树的高度为x，又由在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，可得AC=$\frac{x}{1.11}$，又由在△ADM中，$\frac{AM}{DM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得x-3=（3$\sqrt{3}$+$\frac{x}{1.11}$）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，继而求得答案．

解答 解：过点D作DM⊥BC于点M，DN⊥AC于点N，
则四边形DMCN是矩形，
∵DA=6，斜坡FA的坡比i=1：$\sqrt{3}$，
∴DN=$\frac{1}{2}$AD=3，AN=AD•cos30°=6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3$\sqrt{3}$，
设大树的高度为x，
∵在斜坡上A处测得大树顶端B的仰角是48°，
∴tan48°=$\frac{BC}{AC}$≈1.11，
∴AC=$\frac{x}{1.1}$，
∴DM=CN=AN+AC=3$\sqrt{3}$+$\frac{x}{1.11}$，
∵在△ADM中，$\frac{AM}{DM}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴x-3=（3$\sqrt{3}$+$\frac{x}{1.11}$）•$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得：x≈13．
答：树高BC约13米．

点评 本题考查了仰角、坡角的定义，解直角三角形的应用，能借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形是解题的关键．