Question

20．如图所示．P是⊙O外一点．PA是⊙O的切线．A是切点．B是⊙O上一点．且PA=PB，连接AO、BO、AB，并延长BO与切线PA相交于点Q．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）求证：AQ•PQ=OQ•BQ；
（3）设∠AOQ=α，若cosα=$\frac{4}{5}$，OQ=10，求BP的长．

Answer 1

分析 （1）连接OP，与AB交于点C．欲证明PB是⊙O的切线，只需证明∠OBP=90°即可；
（2）根据相似三角形的判定定理AA证明△QAO∽△QBP，然后由相似三角形的对应边成比例求得$\frac{AQ}{BQ}=\frac{OQ}{PQ}$，即可得到结论；
（3）在Rt△OAQ中根据勾股定理和三角函数的余弦值的定义解得QB=18，利用（1）的结论求得PQ=30，根据线段的和差即可得到结论．

解答 （1）证明：连接OP，与AB交于点C．
∵PA=PB，OA=OB，OP=OP，
∴△OAP≌△OBP（SSS），
∴∠OBP=∠OAP，
∵PA是⊙O的切线，A是切点，
∴∠OAP=90°，
∴∠OBP=90°，即PB是⊙O的切线；

（2）证明：∵∠Q=∠Q，∠OAQ=∠QBP=90°，
∴△QAO∽△QBP，
∴$\frac{AQ}{BQ}=\frac{OQ}{PQ}$，
即AQ•PQ=OQ•BQ；

（3）连结OP交AB于点C，
在Rt△OAQ中，∵OQ=10，cosα=$\frac{4}{5}$，
∴OA=8，AQ=6，
∴QB=18；
∵$\frac{AQ}{BQ}=\frac{OQ}{PQ}$，
∴PQ=30，即PA=24，
∴PB=PA=24．

点评 本题综合考查了切线的判定与性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质、解直角三角形以及勾股定理．图形中的线段的求法，可以通过特殊角的三角函数值、切线的有关知识及勾股定理求解．