Question

17．A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从A城出发驶向B城，甲车到达B城后立即返回．如图是它们离A城的距离y（千米）与行驶时间 x（小时）之间的函数图象．
（1）求甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（2）当它们行驶了7小时时，两车相遇，求乙车的速度及乙车行驶过程中y与x之间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当两车相距100千米时，求甲车行驶的时间．

Answer 1

分析 （1）设甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为y_甲=k₁x+b₁，分两段代入点的坐标利用待定系数法即可得出结论；
（2）求出当x=7时，y_甲的值，再依据“速度=路程÷时间”算出乙车的速度，再由“乙车运动的时间=A、B两城间距离÷乙车的速度”得出x的取值范围，依据数量关系即可得出结论；
（3）设两车之间的距离为W（千米），根据W=|y_甲-y_乙|得出W关于时间x的函数关系式，令W=100，求出x值即可．

解答 解：（1）设甲车行驶过程中y与x之间的函数解析式为y_甲=k₁x+b₁，
当0≤x≤6时，将点（0，0），（6，600）代入函数解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{0={b}_{1}}\\{600=6{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=100}\\{{b}_{1}=0}\end{array}\right.$，
∴y_甲=100x；
当6≤x≤14，将点（6，600），（14，0）代入函数解析式得：
$\left\{\begin{array}{l}{600=6{k}_{1}+{b}_{1}}\\{0=14{k}_{1}+{b}_{1}}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{{k}_{1}=-75}\\{{b}_{1}=1050}\end{array}\right.$，
∴y_甲=-75x+1050．
综上得：y_甲=$\left\{\begin{array}{l}{100x（0≤x≤6）}\\{-75x+1050（6≤x≤14）}\end{array}\right.$．
（2）当x=7时，y_甲=-75×7+1050=525，
乙车的速度为：525÷7=75（千米/小时）．
∵乙车到达B城的时间为：600÷75=8（小时），
∴乙车行驶过程中y_乙与x之间的函数解析式为：y_乙=75x（0≤x≤8）．
（3）设两车之间的距离为W（千米），则W与x之间的函数关系式为：
W=|y_甲-y_乙|=$\left\{\begin{array}{l}{100x-75x=25x（0≤x≤6）}\\{-75x+1050-75x=-150x+1050（6≤x≤7）}\\{75x-（-75x+1050）=150x-1050（7≤x≤8）}\\{600-（-75x+1050）=75x-450（8≤x≤14）}\end{array}\right.$，
当W=100时，有$\left\{\begin{array}{l}{25x=100（0≤x≤6）}\\{-150x+1050=100（6≤x≤7）}\\{150x-1050=100（7≤x≤8）}\\{75x-450=100（8≤x≤14）}\end{array}\right.$，
解得：x₁=4，x₂=6$\frac{1}{3}$，x₃=7$\frac{2}{3}$．
答：当两车相距100千米时，甲车行驶的时间为4、6$\frac{1}{3}$或7$\frac{2}{3}$小时．

点评 本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）结合数量关系找出y_乙与x之间的函数解析式；（3）找出关于时间t的一元一次方程．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，结合函数图象中点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是关键．