Question

16．如图，已知A（a，a+1），B（a+3，a-1）是反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上两点，必过A、B的直线y=mx+n交x轴于点C．
（1）求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）己知点P在反比例函数图象上，且S_△POC=S_△AOB，求P点的坐标；
（3）根据图象直接写出当反比例函数的函数值大于一次函数的函数值时x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由A（a，a+1），B（a+3，a-1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，得方程求得a=3，于是得到A（3，4），B（6，2），列方程或方程组即可得到结论；
（2）令y=0，则-$\frac{2}{3}$x+6=0，得到OC=9，过A作AE⊥OC于E，BF⊥OC于F，由于S_△AOB=S_{四边形AEFB}=$\frac{1}{2}$（4+2）×（6-3）=9，设P（n，$\frac{12}{n}$），于是得到S_△POC=$\frac{1}{2}$×9×$\frac{12}{n}$=9，即可得到结论；
（3）根据图象知，当0＜x＜3或x＞6时，反比例函数的函数值大于一次函数的函数值．

解答 解：（1）∵A（a，a+1），B（a+3，a-1）在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，
∴a（a+1）=（a+3）（a-1），
解得：a=3，
∴A（3，4），B（6，2），
∴k=12，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{12}{x}$，
∵直线y=mx+n过A、B，
∴$\left\{\begin{array}{l}{4=3m+n}\\{2=6m+n}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{2}{3}}\\{n=6}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+6；
（2）令y=0，则-$\frac{2}{3}$x+6=0，
∴x=9，
∴C（9，0），
∴OC=9，
过A作AE⊥OC于E，BF⊥OC于F，
∴S_△AOB=S_{四边形AEFB}=$\frac{1}{2}$（4+2）×（6-3）=9，
设P（n，$\frac{12}{n}$），
∴S_△POC=$\frac{1}{2}$×9×|$\frac{12}{n}$|=9，
∴n=±6，
∴P（6，2）或（-6，-2）；

（3）根据图象知，当0＜x＜3或x＞6时，反比例函数的函数值大于一次函数的函数值．

点评 本题考查了本题考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积计算，正确的理解题意是解题的关键．