题目内容

18．如图，已知点O（0，0），A（-4，-1），线段AB与x轴平行，且AB=2，抛物线l：y=-x2+mx+n（m，n为常数）经过点C（0，3）和D（3，0）
（1）求l的解析式及其对称轴和顶点坐标；
（2）判断点B是否在l上，并说明理由；
（3）若线段AB以每秒2个单位长的速度向下平移，设平移的时间为t（秒）．
①若l与线段AB总有公共点，直接写出t的取值范围；
②若l同时以每秒3个单位长的速度向下平移，l在y轴及其右侧的图象与直线AB总有两个公共点，求t的取值范围．

分析 （1）直接利用待定系数法求出二次函数即可；
（2）首先得出B点坐标，再代入二次函数解析式进而得出答案；
（3）①分别得出当抛物线l经过点B时，当抛物线l经过点A时，求出y的值，进而得出t的取值范围；
②根据题意得出关于t的不等式进而组成方程组求出答案．

解答 解：（1）把点C（0，3）和D（3，0）的坐标代入y=-x2+mx+n中，
得$\left\{\begin{array}{l}n=3\\-{3^2}+3m+n=0\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}n=3\\ m=2\end{array}\right.$，
∴抛物线l解析式为y=-x2+2x+3，
对称轴为x=1，顶点坐标为（1，4）．   

（2）不在；  
∵A（-4，-1），线段AB与x轴平行，AB=2，
∴B（-2，-1），
把x=-2代入y=-x2+2x+3，得y=-5≠-1，
∴点B不在抛物线l上．

（3）①2≤t≤10． 
设点B的坐标为（-2，-1-2t），点A的坐标为（-4，-1-2t），
当抛物线l经过点B时，有y=-（-2）2+2×（-2）+3=-5，
当抛物线l经过点A时，有y=-（-4）2+2×（-4）+3=-21，
当抛物线l与线段AB总有公共点时，有-21≤-1-2t≤-5，
解得：2≤t≤10．

②平移过程中，设点C的坐标为（0，3-3t），抛物线l的顶点坐标为（1，4-3t），
如果直线AB与抛物线l在y轴及其右侧的图象总有两个公共点，
则有 $\left\{\begin{array}{l}-1-2t≥3-3t\\-1-2t＜4-3t\end{array}\right.$，
解得：4≤t＜5．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及不等式组的解法等知识，正确利用数形结合分析得出关于t的不等式是解题关键．

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